Question

На гладкой горизонтально расположенной спице в поле тяжести висит шнурок длиной 0.5 м. От небольшого толчка шнурок начинает скользить по спице, не отрываясь от ее поверхности.
Найти скорость шнурка, когда с одной из сторон спицы свешивается 0.2 части длины шнурка. Радиус спицы много меньше длины шнурка. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с^2

Answer 1

Введем нулевой уровень потенциальной энергии на начальных высотах центров масс равных свисающих концов (на расстоянии L/4 вниз от спицы, где L-длина шнурка)

когда с одной из сторон спицы свешивается k=0.2 части длины шнурка центр масс короткого конца находится на высоте

$h_1 = L/4 - kL/2 = (1-2k)L/4$

вверх от нуля потенциальной энергии, а центр масс длинного конца на расстоянии

$h_2 = (1-k)L/2-L/4 = (1-2k)L/4$

вниз от нуля потенциальной энергии (что достаточно очевидно).
Весь шнур двигается с одной и той же скоростью, и его энергия равна массе шнура, умноженной на половину квадрата этой скорости, поэтому
Закон Сохранения Энергии

$0 = kmgh_1-(1-k)mgh_2+mv^2/2\ v^2/2 = -kg(1-2k)L/4 + (1-k)g(1-2k)L/4 = (1-2k)^2gL/4\\ v = (1-2k)sqrt{gL/2}$