Question

При яких значеннях а рівняння має 1) один корінь; 2) два корені.

Answer 1

напомню,что sinx изменяется от -1 до 1


$sinx=t, -1 leq t leq 1 \ \ t^2-(a+ frac{1}{2})t+ frac{a}{2}=0$

по теореме Виета:
 $left { {{t_1+t_2=a+ frac{1}{2} } atop {t_1*t_2= frac{a}{2} }} right.$

значит: 
$t_1=a\ t_2= frac{1}{2}$
(или найти корни можно через дискриминант)

обратная замена:
$1) sinx=a$

$2) sinx= frac{1}{2} \ x= frac{ pi }{6}+2 pi n, n in Z \ \ x= frac{ 5pi }{6}+2 pi n, n in Z$

Корень 5π/6 входит в данный промежуток:
$[ frac{ pi }{2} ; frac{ 5pi }{4} ]$

Поэтому исходное уравнение уже имеет один корень на этом промежутке 

по условию 
$frac{ pi }{2} leq x leq frac{5 pi }{4}$

Значит:
$sin frac{ pi }{2} geq sin x geq sinfrac{5 pi }{4} \ \ - frac{ sqrt{2} }{2} leq sinx leq 1$

1) чтобы уравнение имело один корень ( в нашем случае один корень есть всегда - это 5π/6) , нужно чтобы первое уравнение не имело корней или имело такие же корни, что и второе или имело корни не входящие в данный промежуток.

sinx=a

$a in (-infty;- frac{ sqrt{2} }{2} ) U (1; + infty) U { frac{1}{2}}$

2) в остальных случаях уравнение имеет два корня, то есть при
$a in [- frac{ sqrt{2} }{2}; frac{1}{2}) U ( frac{1}{2};1]$

$OTBET: 1) a in (-infty;- frac{ sqrt{2} }{2} ) U (1; + infty) U { frac{1}{2}} \ \2) a in [- frac{ sqrt{2} }{2}; frac{1}{2}) U ( frac{1}{2};1]$