Ответы
Ответ дал:
0
напомню,что sinx изменяется от -1 до 1
![sinx=t, -1 leq t leq 1 \ \ t^2-(a+ frac{1}{2})t+ frac{a}{2}=0 sinx=t, -1 leq t leq 1 \ \ t^2-(a+ frac{1}{2})t+ frac{a}{2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=sinx%3Dt%2C++++-1+leq+t+leq+1+%5C++%5C+t%5E2-%28a%2B+frac%7B1%7D%7B2%7D%29t%2B+frac%7Ba%7D%7B2%7D%3D0++)
по теореме Виета:
![left { {{t_1+t_2=a+ frac{1}{2} } atop {t_1*t_2= frac{a}{2} }} right. left { {{t_1+t_2=a+ frac{1}{2} } atop {t_1*t_2= frac{a}{2} }} right.](https://tex.z-dn.net/?f=+left+%7B+%7B%7Bt_1%2Bt_2%3Da%2B+frac%7B1%7D%7B2%7D+%7D+atop+%7Bt_1%2At_2%3D+frac%7Ba%7D%7B2%7D+%7D%7D+right.+)
значит:
![t_1=a\ t_2= frac{1}{2} t_1=a\ t_2= frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=t_1%3Da%5C+t_2%3D+frac%7B1%7D%7B2%7D+)
(или найти корни можно через дискриминант)
обратная замена:
![1) sinx=a 1) sinx=a](https://tex.z-dn.net/?f=1%29++sinx%3Da)
![2) sinx= frac{1}{2} \ x= frac{ pi }{6}+2 pi n, n in Z \ \ x= frac{ 5pi }{6}+2 pi n, n in Z \ \ 2) sinx= frac{1}{2} \ x= frac{ pi }{6}+2 pi n, n in Z \ \ x= frac{ 5pi }{6}+2 pi n, n in Z \ \](https://tex.z-dn.net/?f=2%29++sinx%3D+frac%7B1%7D%7B2%7D+%5C+x%3D+frac%7B+pi+%7D%7B6%7D%2B2+pi+n%2C+n+in+Z+%5C++%5C++x%3D+frac%7B+5pi+%7D%7B6%7D%2B2+pi+n%2C+n+in+Z+%5C++%5C+++)
Корень 5π/6 входит в данный промежуток:
![[ frac{ pi }{2} ; frac{ 5pi }{4} ] [ frac{ pi }{2} ; frac{ 5pi }{4} ]](https://tex.z-dn.net/?f=%5B+frac%7B+pi+%7D%7B2%7D+%3B++frac%7B+5pi+%7D%7B4%7D+%5D)
Поэтому исходное уравнение уже имеет один корень на этом промежутке
по условию
![frac{ pi }{2} leq x leq frac{5 pi }{4} frac{ pi }{2} leq x leq frac{5 pi }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7B+pi+%7D%7B2%7D++leq+x+leq++frac%7B5+pi+%7D%7B4%7D+)
Значит:
![sin frac{ pi }{2} geq sin x geq sinfrac{5 pi }{4} \ \ - frac{ sqrt{2} }{2} leq sinx leq 1 sin frac{ pi }{2} geq sin x geq sinfrac{5 pi }{4} \ \ - frac{ sqrt{2} }{2} leq sinx leq 1](https://tex.z-dn.net/?f=sin+frac%7B+pi+%7D%7B2%7D++geq++sin+x+geq+sinfrac%7B5+pi+%7D%7B4%7D+%5C+%5C+-+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D++leq+sinx+leq+1)
1) чтобы уравнение имело один корень ( в нашем случае один корень есть всегда - это 5π/6) , нужно чтобы первое уравнение не имело корней или имело такие же корни, что и второе или имело корни не входящие в данный промежуток.
sinx=a
![a in (-infty;- frac{ sqrt{2} }{2} ) U (1; + infty) U { frac{1}{2}} a in (-infty;- frac{ sqrt{2} }{2} ) U (1; + infty) U { frac{1}{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=a+in+%28-infty%3B-+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%29++U++%281%3B+%2B+infty%29++U++%7B+frac%7B1%7D%7B2%7D%7D+)
2) в остальных случаях уравнение имеет два корня, то есть при
![a in [- frac{ sqrt{2} }{2}; frac{1}{2}) U ( frac{1}{2};1] a in [- frac{ sqrt{2} }{2}; frac{1}{2}) U ( frac{1}{2};1]](https://tex.z-dn.net/?f=a+in+%5B-+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%3B++frac%7B1%7D%7B2%7D%29++U++%28+frac%7B1%7D%7B2%7D%3B1%5D)
![OTBET: 1) a in (-infty;- frac{ sqrt{2} }{2} ) U (1; + infty) U { frac{1}{2}} \ \2) a in [- frac{ sqrt{2} }{2}; frac{1}{2}) U ( frac{1}{2};1] OTBET: 1) a in (-infty;- frac{ sqrt{2} }{2} ) U (1; + infty) U { frac{1}{2}} \ \2) a in [- frac{ sqrt{2} }{2}; frac{1}{2}) U ( frac{1}{2};1]](https://tex.z-dn.net/?f=OTBET%3A++1%29+a+in+%28-infty%3B-+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%29++U++%281%3B+%2B+infty%29++U++%7B+frac%7B1%7D%7B2%7D%7D+%5C+%5C2%29+a+in+%5B-+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%3B+frac%7B1%7D%7B2%7D%29++U++%28+frac%7B1%7D%7B2%7D%3B1%5D+)
по теореме Виета:
значит:
(или найти корни можно через дискриминант)
обратная замена:
Корень 5π/6 входит в данный промежуток:
Поэтому исходное уравнение уже имеет один корень на этом промежутке
по условию
Значит:
1) чтобы уравнение имело один корень ( в нашем случае один корень есть всегда - это 5π/6) , нужно чтобы первое уравнение не имело корней или имело такие же корни, что и второе или имело корни не входящие в данный промежуток.
sinx=a
2) в остальных случаях уравнение имеет два корня, то есть при
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад