Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

Answer 1

Из уравнения прямой легко заключить что ее направляющий вектор

$vec{a} = {-2,-1,1}$

Кроме того, эта прямая проходит через точку 

$P = (-1, -4, 1)$

что тоже видно из уравнения. Теперь подумаем, чтобы найти уравнение плоскости, нужно как минимум найти вектор нормали к ней. Этот вектор будет перпендикулярен вектору PM и направляющему вектору прямой. Кроме этого, по условию плоскость не проходит через начало координат, а значит ее уравнение можно привести к виду

$(vec{r}cdotvec{n})=1$

В совокупности с условиями перпендикулярности имеем (подставим в равенство выше вектор точки M)

$displaystyle left{ begin{aligned} &-2n_x+n_y-n_z = 1\ &n_x-5n_y+2n_z = 0\ &2n_x+n_y-n_z = 0 end{aligned} right.\\ Delta = left|begin{array}{ccc}-2&1&-1\1&-5&2\2&1&-1end{array}right| = -12\\ n_x = left|begin{array}{ccc}1&1&-1\0&-5&2\0&1&-1end{array}right|/Delta_x = -3/12\ n_y = left|begin{array}{ccc}-2&1&-1\1&0&2\2&0&-1end{array}right|/Delta_x = -5/12\ n_z = left|begin{array}{ccc}-2&1&1\1&-5&0\2&1&0end{array}right|/Delta_x = -11/12$

$(vec{r}cdotvec{n}) = 1\ 3x+5y+11z = -12$