Question

Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением y=k/x

Answer 1

Гипербола, заданная уравнением y=k/x, - это равносторонняя гипербола, её ось проходит через начало координат под углом 45 градусов к оси Ох.
Уравнение такой линии у = х.
Находим параметр а гиперболы, равный расстоянию от начала координат до точки пересечения гиперболы со своей осью.
Для этого приравняем правые части уравнений гиперболы и её оси.
к/х = х,
к = х²,
х = +-√к
А так как у = х, то и у =+-√к,
Отсюда а= +-√(х²+у²) = +-√(к+к) = +-√(2к),

Если гипербола равнобочная (равносторонняя), то а = в, а эксцентриситет ε = √2.

Фокусный параметр с = а*ε = +-√(2к)*√2 = +-2√к, где с – половина расстояния между фокусами.

Так как ось гиперболы проходит по углом 45 °, то координаты её фокусов равны х = у = +-с*cos45° = +-2√k*(√2/2)= +-√(2k).