Question

(√(3-2√2) )^x + (√(3+2√2) )^x =6

Answer 1

$( sqrt{3-2 sqrt{2} } )^x+( sqrt{3+2 sqrt{2} } )^x=6$

Заметим:
$sqrt{3+2 sqrt{2} } = frac{sqrt{3+2 sqrt{2} }*sqrt{3-2 sqrt{2} } }{sqrt{3-2 sqrt{2} } } = frac{1}{ sqrt{3-2 sqrt{2} } }$
и
$sqrt{3-2 sqrt{2} } = frac{1}{ sqrt{3+2 sqrt{2} } }$

Введем замену:
$( sqrt{3+2 sqrt{2} } )^x=a,$  $a textgreater 0$

Получим уравнение, равносильное исходному:
$frac{1}{a}+a=6$
$frac{1}{a} +a-6=0$, т.к. $a textgreater 0$
$a^2-6a+1=0 \ D=36-4=32 \ a_1= frac{6+4 sqrt{2} }{2}=3+2 sqrt{2} \ a_2= frac{6-4 sqrt{2} }{2}=3-2 sqrt{2}$

$( sqrt{3+2 sqrt{2} } )^x=3+2 sqrt{2}$   или   $( sqrt{3+2 sqrt{2} } )^x=3-2 sqrt{2}$
$(3+2 sqrt{2} )^ frac{x}{2}= (3+2 sqrt{2})^1$  или  $(3+2 sqrt{2} )^ frac{x}{2}= frac{1}{3+2 sqrt{2}}$
$frac{x}{2}=1$     или   $(3+2 sqrt{2} )^ frac{x}{2}=(3+2 sqrt{2} )^{-1}$
$x=2$     или   $frac{x}{2}=-1$
                           $x=-2$

Ответ: 2; -2