Question

sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+...+sin^n(x)+...=1
Чему равен наименьший полож корень?

Answer 1

$sinx+sin^2x+sin^3x+...+sin^nx+...=1$

Заметим, что в левой части уравнения бесконечно убывающая прогрессия, сумма всех членов которой равна:
$S= frac{b_1}{1-q} \ \ b_1=sinx \ b_2=sin^2x \ b_3=sin^3x$
$q= frac{b_2}{b_1}= frac{sin^2x}{sinx}=sinx$, $sinx neq 0$
$S=1 \ frac{sinx}{1-sinx}=1 \ 1-sinx neq 0 \ sinx neq 1$
$x neq frac{ pi }{2} +2 pi n,$  n∈Z
$sinx=1-sinx \ 2sinx=1 \ sinx= frac{1}{2}$
$x=(-1)^karcsin frac{1}{2} + pi k$,  k∈Z 
$x=(-1)^k frac{ pi }{6} + pi k$, k∈Z
$k=0,$  $x= frac{ pi }{6}+0= frac{ pi }{6}$ - наименьший пол. корень
$k=1,$  $x= frac{ -pi }{6}+ pi = frac{ 5pi }{6}$

Ответ: $frac{pi }{6}$

Answer 2

Спасибо огроменное!)