Question

Каков будет предел функции:
$lim_{x to 0} x^{arcsinx}$ ?

Answer 1

Два раза надо применить лопитальчик

Answer 2

А можно-ли применять его только один раз, чтобы когда получилась производная выражения, деленного на икс(где минус арксинус), просто написать, что так как икс в знаменателе стремится к нулю, и соответственно степень е равна нулю? Ведь, по сути, так и есть, или я ошибаюсь?

Answer 3

Когда знаменатель стремится к 0, вся дробь стремится к бесконечности. В данном случае это подавляется числителем, который тоже стремится к 0, как х^2. Можно без второго Лопиталя, если воспользоваться тем, что arcsin(x)/x -> 1 при x->0, что фактически есть замечательный предел, если сделать замену x=sin(t).