Question

Пожалуйста с полным объяснением даю максималку!:)
Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на n, то и сумма седьмых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение nn.

Answer 1

Рассмотрим разность
(a^7+b^7+c^7+)–(a+b+c+)=
=(a^7–a)+(b^7–b)+(c^7–c)

Достаточно показать, что 
a^7–a кратно n
a^7–a=a(a^6–1)=a·(a^3–1)·(a^3+1)=
=a·(a–1)·(a+1)·(a^2+a+1)·(a^2–a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а–1)·а·(а+1)
кратна 6.
Кроме того произведение a^7–a кратно 7 по малой теореме Ферма
Значит, a^7–a кратно 6·7=42

n = 42

Answer 2

короче

Answer 3

есть такая теорема (малая теорема Ферма) которая говорит что a^7 - a кратно 7 (не вникай похер)

Answer 4

Я доказал что самое большое кратное это 42 доказав до этого про 6 ( 2* 3) и 7

Answer 5

Ладно, чувак, все ок.

Answer 6

а для 11 степени точно так же решать?