Батарея конденсаторов с вертикально расположенными
пластинами и с емкостями соответственно 5, 8 и 1 мкФ, изображенная на
рисунке 15.4, была заряжена от источника с напряжением 250 В, который
подключался к точкам А и В. а) Какую энергию получила батарея? б)
Каким станет напряжение на батарее, если после отключения ее от
источника второй конденсатор вертикально на половину погрузить в
трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью 2? Ответ:
127,5 мДж, 227 В.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/441/4416ccc99241547a19558a6bdc3de8ac.png)
Ответы
Ответ дал:
0
а) Проводник между
и
– изолированный, так что:
![Q_1 = Q_2 = Q ; Q_1 = Q_2 = Q ;](https://tex.z-dn.net/?f=+Q_1+%3D+Q_2+%3D+Q++%3B+)
![U_1 = frac{ Q }{ C_1 } ; U_1 = frac{ Q }{ C_1 } ;](https://tex.z-dn.net/?f=+U_1+%3D+frac%7B+Q+%7D%7B+C_1+%7D++%3B+)
![U_2 = frac{ Q }{ C_2 } ; U_2 = frac{ Q }{ C_2 } ;](https://tex.z-dn.net/?f=+U_2+%3D+frac%7B+Q+%7D%7B+C_2+%7D++%3B+)
Складываем:
![U = Q ( frac{1}{ C_1 } + frac{1}{ C_2 } ) ; U = Q ( frac{1}{ C_1 } + frac{1}{ C_2 } ) ;](https://tex.z-dn.net/?f=+U+%3D+Q+%28+frac%7B1%7D%7B+C_1+%7D+%2B+frac%7B1%7D%7B+C_2+%7D+%29++%3B+)
Ёмкость на нижней ветке:
![C = frac{Q}{U} = frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } ; C = frac{Q}{U} = frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } ;](https://tex.z-dn.net/?f=+C+%3D+frac%7BQ%7D%7BU%7D+%3D+frac%7B1%7D%7B+1%2FC_1+%2B+1%2FC_2+%7D++%3B+)
Энергия, аккумулированная на нижней ветке:
![W_{12} = frac{ C U^2 }{2} ; W_{12} = frac{ C U^2 }{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+W_%7B12%7D+%3D+frac%7B+C+U%5E2+%7D%7B2%7D++%3B+)
На верхней:
![W_3 = frac{ C_3 U^2 }{2} ; W_3 = frac{ C_3 U^2 }{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+W_3+%3D+frac%7B+C_3+U%5E2+%7D%7B2%7D++%3B+)
Во всей цепи:
![W = W_{12} + W_3 = frac{ C U^2 }{2} + frac{ C_3 U^2 }{2} = ( C_{12} + C_3 ) frac{ U^2 }{2} ; W = W_{12} + W_3 = frac{ C U^2 }{2} + frac{ C_3 U^2 }{2} = ( C_{12} + C_3 ) frac{ U^2 }{2} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+W+%3D+W_%7B12%7D+%2B+W_3+%3D+frac%7B+C+U%5E2+%7D%7B2%7D+%2B+frac%7B+C_3+U%5E2+%7D%7B2%7D+%3D+%28+C_%7B12%7D+%2B+C_3+%29+frac%7B+U%5E2+%7D%7B2%7D++%3B+)
![W = ( frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } + C_3 ) frac{ U^2 }{2} approx W = ( frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } + C_3 ) frac{ U^2 }{2} approx](https://tex.z-dn.net/?f=+W+%3D+%28+frac%7B1%7D%7B+1%2FC_1+%2B+1%2FC_2+%7D+%2B+C_3+%29+frac%7B+U%5E2+%7D%7B2%7D+approx+)
мДж ;
б) Верхняя половина второго конденсатора имеет половину его полной ёмкости. Нижняя половина второго конденсатора имеет половину ёмкости исходного, умноженную на диэлектрическую проницаемость. Итого обновлённая ёмкость второго конденсатора будет:
![C_2' = frac{C_2}{2} + frac{C_2}{2} varepsilon = frac{ 1 + varepsilon }{2} C_2 > C_2 ; C_2' = frac{C_2}{2} + frac{C_2}{2} varepsilon = frac{ 1 + varepsilon }{2} C_2 > C_2 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+C_2%27+%3D+frac%7BC_2%7D%7B2%7D+%2B+frac%7BC_2%7D%7B2%7D+varepsilon+%3D+frac%7B+1+%2B+varepsilon+%7D%7B2%7D+C_2+%26gt%3B+C_2++%3B+)
Короче говоря, ёмкость второго конденсатора увеличится, он наэлектризует, поляризует и втянет в себя масло, совершив работу. Так что второй конденсатор начнёт втягивать в себя и заряд
по правому концу нижней ветки. Противоположный заряд перетечёт и по изолированному проводнику нижней ветки от первого ко второму конденсатору. И такой же заряд
перетечёт и по левой стороне цепи между третьим и первым конденсатором. Из-за этого изменятся и напряжения на конденсаторах, а напряжения верхней и нижней ветки, в конечном счете, должны быть одинаковыми.
Из-за увеличения ёмкости второго конденсатора, увеличится и ёмкость всей нижней ветки. Обновлённая ёмкость нижней ветки будет:
![C' = frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2' } = 1 / ( frac{1}{C_1} + frac{2}{ C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) ; C' = frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2' } = 1 / ( frac{1}{C_1} + frac{2}{ C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) ;](https://tex.z-dn.net/?f=+C%27+%3D+frac%7B1%7D%7B+1%2FC_1+%2B+1%2FC_2%27+%7D+%3D+1+%2F+%28+frac%7B1%7D%7BC_1%7D+%2B+frac%7B2%7D%7B+C_2+%28+1+%2B+varepsilon+%29+%7D+%29++%3B+)
Однако суммарный заряд на точках исходного подключения останется прежним, именно он будет определять конечное напряжение. Заряд до погружения в масло можно посчитать, как:
![Q = (C_3+C)U ; Q = (C_3+C)U ;](https://tex.z-dn.net/?f=+Q+%3D+%28C_3%2BC%29U++%3B+)
Заряд после погружения в масло можно посчитать, как:
![Q = (C_3+C')U' ; Q = (C_3+C')U' ;](https://tex.z-dn.net/?f=+Q+%3D+%28C_3%2BC%27%29U%27++%3B+)
А поскольку заряд сохраняется, то:
![(C_3+C)U = (C_3+C')U' ; (C_3+C)U = (C_3+C')U' ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%28C_3%2BC%29U+%3D+%28C_3%2BC%27%29U%27++%3B+)
![U' = frac{ C_3 + C }{ C_3 + C' } U = frac{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{1}{C_2} ) }{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{2}{C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) } U ; U' = frac{ C_3 + C }{ C_3 + C' } U = frac{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{1}{C_2} ) }{ C_3 + 1/( frac{1}{C_1} + frac{2}{C_2 ( 1 + varepsilon ) } ) } U ;](https://tex.z-dn.net/?f=+U%27+%3D+frac%7B+C_3+%2B+C+%7D%7B+C_3+%2B+C%27+%7D+U+%3D+frac%7B+C_3++%2B++1%2F%28+frac%7B1%7D%7BC_1%7D+%2B+frac%7B1%7D%7BC_2%7D+%29+%7D%7B+C_3++%2B++1%2F%28+frac%7B1%7D%7BC_1%7D+%2B+frac%7B2%7D%7BC_2+%28+1+%2B+varepsilon+%29+%7D+%29+%7D+U++%3B+)
В .
Складываем:
Ёмкость на нижней ветке:
Энергия, аккумулированная на нижней ветке:
На верхней:
Во всей цепи:
б) Верхняя половина второго конденсатора имеет половину его полной ёмкости. Нижняя половина второго конденсатора имеет половину ёмкости исходного, умноженную на диэлектрическую проницаемость. Итого обновлённая ёмкость второго конденсатора будет:
Короче говоря, ёмкость второго конденсатора увеличится, он наэлектризует, поляризует и втянет в себя масло, совершив работу. Так что второй конденсатор начнёт втягивать в себя и заряд
Из-за увеличения ёмкости второго конденсатора, увеличится и ёмкость всей нижней ветки. Обновлённая ёмкость нижней ветки будет:
Однако суммарный заряд на точках исходного подключения останется прежним, именно он будет определять конечное напряжение. Заряд до погружения в масло можно посчитать, как:
Заряд после погружения в масло можно посчитать, как:
А поскольку заряд сохраняется, то:
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
5 лет назад
8 лет назад