Question

Доказать тождество:
$4cos alpha *cos beta *cos( alpha - beta )-2 cos^{2} ( alpha - beta )-cos2 beta =cos2 alpha$

Answer 1

cosa*cosb=1/2(cos(a-b)+cos(a+b))
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4*1/2(cos(a-b)+cos(a+b))*cos(a-b)-2cos²(a-b)-cos2b=
=2cos²(a-b)+2cos(a+b)*cos(a-b)-2cos²(a-b)-cos2b=
=2cos(a+b)*cos(a-b)-cos2b=2*1/2*(cos(a+b-a+b)+cos(a+b+a-b))-cos2b=
=cos2b+cos2a-cos2b=cos2a
cos2a=cos2a

Answer 2

Доказать тождество: 4cosα*cosβ*cos(α - β) - 2cos²(α - β)  -  cos2β = cos2α .
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* * *  Используется   формулу  преобразования произведения  в сумму  :
cosα*cosβ = ( cos(α + β)+ cos(α - β) ) /.2 . 
* *  *
4cosα*cosβ*cos(α - β) - 2cos²(α - β)  -  cos2β =
2cos(α -β)*( 2cosα*cosβ - cos(α - β) ) - cos2β =  
2cos(α -β)*(cos(α + β)+ cos(α - β) - cos(α - β) ) - cos2β =
2cos(α -β)*cos(α + β)   -  cos2β =cos2α + cos2β  -  cos2β =cos2α .