Question

Помогите решить пожалуйста.

Answer 1

1. Если аргумент под дифференциалом привести к 2x, то получаем табличный интеграл, дающий тангенс

S (4/cos(2x)^2) dx = 2 * S (1/cos(2x)^2) d 2x = 2 * tg(2x)
В подстановке от pi/8 до нуля получаем:
2*(tg(pi/4) - tg(0)) = 2 * (1 - 0 ) = 2

2. S x * sqrt(x^2 + 9) dx = [заносим x под дифференциал и добавляем константу] =  0.5 S sqtr(x^2 + 9) d (x^2 + 9) = 
Получили интеграл вида S y^0.5  dy = y^(3/2) * 2/3
Не забываем про 0.5 !
= (1/3) * (x^2  + 9) ^ (3/2)

В подстановке от 4 до нуля получаем:
(1/3) * (5^3 - 3^3) = (125 - 27)/3 = 98/3

3. S cos(x)/(3*sin(x) + 2) dx = [заносим косинус, домножаем и добавляем константу] =  (1/3) * S 1/(3*sin(x) + 2) d (3*sin(x)  + 2) - получили интеграл логарифма
= ln(3 * sin(x) + 2)/3
В подстановке от pi/2 до нуля получаем
ln(5)/3 - ln(2)/3
Разность логарифмов есть логарифм частного, т.е. окончательно имеем
ln(2.5)/3

4. S (pi/4 - arcsin(x))/sqrt(1 - x^2) dx = [вносим арксинус под интеграл и вычитаем константу] =   S(pi/4  - arcsin(x) d (pi/4  - arcsin(x))  =
=  0.5 * (pi/4  - arcsin(x))^2
В подстановке получаем:
0.5 * ((pi/4 - pi/3)^2 - (pi/4 - (-pi/3))^2) =
= 0.5 * ( -48 *pi^2 / 144) = - (pi^2)/6

5. S(x + 1) * ln(x) dx  = S x * ln(x) dx + S ln(x) dx =
= [по частям оба]
первый
S x * ln(x) dx = 0.5 * S ln(x) d x^2  = 0.5 (ln(x) * x^2 -  S x^2 d ln(x)) =
= 0.5 (ln(x) * x^2 -  S x dx ) = (ln(x) * x^2)/2 - (x^2)/4
второй
S ln(x) dx = x*ln(x) - Sx d ln(x) = x * ln(x) - S dx = x * ln(x) - x
итого
= (ln(x) * x^2)/2 - (x^2)/4 + x * ln(x) - x
подстановка:
  (e^2)/2 - (e^2)/4 + e - e - (-1/4 - 1) = (e^2 + 5)/4 

Все ответы проверил в программе.