Question

Шар с отверстием колеблется на горизонтальном стержне, прикрепленный к пружине, второй конец которой закреплен в стене. Через какую долю периода он пройдет четверть амплитуды от положения, где его скорость равна нулю?

Answer 1

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A cos{ omega t } ,$

имея в виду, что в локальной окресности сжатия    $x$    – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения    $x$    – это степень растяжения.

Тогда искомая точка:    $x = frac{3}{4}A ;$

$frac{3}{4} A = A cos{ omega t } ,$

$frac{3}{4} = cos{ omega t } ,$

$frac{3}{4} approx 1 - frac{ (omega t)^2 }{2} ,$

$frac{ (omega t)^2 }{2} approx 1 - frac{3}{4} ,$

$frac{ (omega t)^2 }{2} approx frac{1}{4} ,$

$(omega t)^2 approx frac{1}{2} ,$

$omega t approx frac{1}{ sqrt{2} } ,$

$omega = frac{ 2 pi }{T} ,$

$frac{ 2 pi }{T} t approx frac{1}{ sqrt{2} } ,$

$t approx frac{T}{ 2 sqrt{2} pi } approx 0.11 T .$

Answer 2

Для обратной функции arcc(x) получится, что: arcc(x) = √[2x], а относительная погрешность составит: x/12

Когда cosx = 3/4, c(x) = 1/4, относительная погрешность составляет: (1/4)/12 = 2/100 = 2%

В итоге можно полагать, что: аrccos(x) = √[2(1-x)] c относительной погрешностью (1-x)/12 .

Даже для x = 0, по этой примитивной формуле окажется, что: аrccos(x) = √2 = 81°, т.е. относительная погрешность 10%, что как раз сходится с формулой.

Answer 3

Проверим для нашего случая.

arccos(3/4)/2π = 0.1150...

1/[2√2π] = 0.1125...

Относительная погрешность 0.1150/0.1125 - 1 = 0.02 = 2%

Answer 4

в первом куске первая буква s в синусе потерялась...

Answer 5

За эти объяснения спасибо. Но... Меня не численное значение в ответе интересует и не погрешность, а можно ли дальше получить формулу без "примерно равно"? arccos(3/4)/(2пи) я получил это правильно или нет? Вы, похоже, ещё не поняли, зачем мне это нужно.

Answer 6

Ну да, конечно, всё так. В общем виде без приближения именно arccos(1-1/4)/(2пи) или arccos(1-1/n)/(2пи), где 1/4 или 1/n – часть пройденной амплитуды. Но даже при n = 1 ошибка в пприлижении даст всего 10%. sqrt(2) против пи/2