Question

Сумма второго и восьмого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 325/128, а сумма второго и шестого членов, уменьшенная на 65/32, - четвертому члену этой же прогрессии. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Answer 1

Обозначим 1 член b1, знаменатель q < 1.
b2 = b1*q; b8 = b1*q^7; b6 = b1*q^5; b4 = b1*q^3
{ b1*q + b1*q^7 = b1*q*(1 + q^6) = 325/128
{ b1*q + b1*q^5 - 65/32 = b1*q*(1 + q^4) - 65/32 = b1*q^3
Перепишем 2 уравнение
{ b1*q*(1 + q^6) = 325/128
{ b1*q*(1 - q^2 + q^4) = 65/32
1 + q^6 раскладываем как сумму кубов
1 + q^6 = (1 + q^2)(1 - q^2 + q^4)
Получаем
{ b1*q*(1 + q^2)(1 - q^2 + q^4) = 325/128
{ b1*q*(1 - q^2 + q^4) = 65/32
Делим 1 уравнение на 2 уравнение
1 + q^2 = (325/128):(65/32) = 325/128*32/65 = 325/65*32/128 = 5/4
q^2 = 5/4 - 1 = 1/4
q = √(1/4) = 1/2 (мы берем 1/2, а не -1/2, потому что прогрессия убывает)
Теперь подставляем
b1*1/2*(1 - 1/4 + 1/16) = 65/32
Умножаем на 2
b1*(16-4+1)/16 = 65/16
Умножаем на 16
b1*13 = 65
b1 = 65/13 = 5
Ответ: b1 = 5; q = 1/2