Question

В квадрате ABCD сторона равна 6.Найдите скалярное произведение векторов DC и OA.

Answer 1

Так как в условии не написано, где находится точка О, будем считать, что это точка пересечения диагоналей.

ABCD - квадрат : AB=BC=CD=AD=6    ⇒    $boldsymbol{|vec {DC}|=6}$

OA - половина диагонали квадрата  ⇒   $boldsymbol{|vec {OA}|}=dfrac{ADcdot sqrt{2}}{2}=dfrac{6cdot sqrt{2}}{2}=boldsymbol{3sqrt{2}}$

∠A'DC = ∠A'DO + ∠ODC = 90° + 45° = 135°

$vec {DC}cdot vec {OA}=|vec {DC}|cdot |vec {OA}|cdot cosangle A'DC=\\=6cdot 3sqrt{2}cdot cos 135^o=18sqrt{2}cdot Big(-dfrac{1}{sqrt{2}}Big)=-18$

$boxed{boldsymbol{vec {DC}cdot vec {OA}=-18}}$

============================================

Второй способ - координатный.

Разместим квадрат в прямоугольной системе координат, взяв за точку отсчёта вершину А. Так как сторона квадрата равна 6, то точки будут иметь координаты

A(0; 0);  B(0; 6);  C(6; 6); D(6; 0); O(3; 3)

Тогда координаты векторов  $vec {DC}(0;6);~~vec {OA}(-3;-3)$

$vec {DC}cdot vec {OA}=x_{vec {DC}}cdot x_{vec {OA}}+y_{vec {DC}}cdot y_{vec {OA}}=\ \ =0cdot (-3)+6cdot (-3)=-18$