Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма её первых пяти членов - 31. Найдите первый член прогрессии.

Answer 1

$S_{n} = frac{b}{1-q} ; S_{n} = frac{b(1- q^{2}) }{1-q} ;$
$left { {{31= frac{b(1- q^{5}) }{1-q} }, atop {32= frac{b}{1-q} }} right. left { {{ frac{(32-32q)(1- q^{5} )}{1-q} }=31, atop {b=32-32q}} right.$
верхнее упрощаем $frac{32-32 q^{5}-32q+32 q^{6} }{1-q}= frac{-32 q^{5}(1-q)+32(1-q) }{1-q}= frac{(1-q)(32-32 q^{5}) }{1-q}=32-32 q^{5}$
получаем $31=32-32 q^{5} ; 32 q^{5}=1; q^{5}= frac{1}{32} ; q= frac{1}{2}$
подставляем q $frac{b}{1- frac{1}{2} } =32;b=32-16=16$