Question

Найдите наибольшие и наименьшее значения функции f:

(cамая функция что на картинке) на промежутках [-1;1] и [0;3];

Answer 1

Производная данной функции равна 4х^3  - 16x

Решаем уравнение 4х^3  - 16x = 0

Находим критические точки:

х = 0

х = - 2

х = 2

 

Берем первый отрезок.

[-1;1] - сюда попадает критическая точка х = 0.

f(-1) = - 16

f(0) = -9

f(1) = - 16

 

Таким образом, наибольшее значение функции на данном отрезке равно - 9

наименьшее значение функции на данном отрезке равно - 16.

 

Берем второй отрезок.

[0;3] - сюда попадают две критические точки: х = 0 и х = 2

f(0) = - 9

f(2) = - 25

f(3) = 81 - 8*9 - 9 = 0

 

Таким образом, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 0

наименьшее значение на данном отрезке равно - 25.

Answer 2

Находим производную, приравниваем ее к 0 и решаем уравнение

 

$f'(x)=(x^4-8x^2-9)'=4x^3-16x \ f'(x)=0 \ 4x^3-16x=0 \ 4x(x^2-4)=0 \ x(x-2)(x+2)=0 \ x_1=0 x_2=2 x_3=-2$

 

1) Для отрезка [-1; 1]

Находим значение функции в найденных точках и на концах отрезка, но поскольку корни -2 и 2 не входят в этот отрезок, то находить значение функции в этих точках не нужно.

 

$y(-1)=(-1)^4-8*(-1)^2-9=1-8-9=-16 \ y(1)=1^4-8*1^2-9=1-8-9=-16 \ y(0)=0^4-8*0^2-9=0-0-9=-9$

 

Наименьшее значение функции -16

Наибольшее значение функции -9

 

2) Для отрезка [0; 3]

Находим значение функции в тех самых точках (-2 0 2) и на концах отрезка, но поскольку корень -2 не входит в этот отрезок, то в этой точке находить значение функции не будем.

 

$y(0)=0^4-8*0^2-9=0-0-9=-9 \ y(2)=2^4-8*2^2-9=16-32-9=-25 \ y(3)=3^4-8*3^2-9=81-72-9=0$

 

Наименьшее значение функции -25

Наибольшее значение функции 0