Question

Помогите, пожалуйста, с алгеброй.

Answer 1

№1
2 прямые имеющие вид y=ax+b, параллельны, если равны их коэффициенты a₁=a₂.
Значит прямая параллельная y=7x-5 будет иметь вид
y=7x+b

Еще есть условие, что эта прямая будет касательной к графику
y=x²+6x-8
Уравнение касательной можно найти через производную.
y=kx+b
k=f'(x)=(x²+6x-8)'=2x+6

Уже известно, что k=7 (y=7x+b).
2x+6=7
2x=1
x=1/2 - это абсцисса точки касания

Ответ х=1/2

№2

Признаки возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна, то функция возрастает на X;
если производная функции y=f(x) отрицательна, то функция убывает на X.

y=x³-4x²+5x-1
1) Область определения
х∈(-∞; +∞)

2) y'=(x³-4x²+5x-1)'=3x²-4*2*x+5=3x²-8x+5

D=8²-4*5*3=64-60=4
x₁=(8-2)/6=1
x₂=(8+2)/6=5/3
(x-1)(x-5/3)>0

_///////////_1_____5/3_/////////__
    +                -                  +

Значит функция возрастает на промежутках от х∈(-∞; 1)∨(5/3; +∞)

(x-1)(x-5/3)<0

______1_////////////////////_5/3___________
   +                      -                  +
Значит функция убывает на промежутке от х∈(1; 5/3)

Точки экстремума
Хmin=5/3
Хmax=1

Answer 2

1.
Уравнение касательной задается формулой  y = 7x + b (b→постоянная) ,  т.к. она  параллельно прямой  y =7x - 5 . 
Касательная   имеет с графиком функции   y=x²+6x -8  одну общую точку
значит  уравнение   x²+6x -8 = 7x +b   должна иметь единственное решение
x²-x -(8+b) =0 ;  D =0  и это решение  x = 1/2 . 
--------------------------------------
2.
y =x² - 4x² +5x -1  ;  ООФ : x ∈( -∞; ∞) .

y '= (x³ - 4x² +5x -1) ' = (x³) ' -(4*x²) ' + (5x) ' -1 ' =3x² -4*(x²) ' +5*(x)' -0 ;
y ' =3x² -8x +5 = 3(x -1)(x-5/3).
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
3x² -8x + 5 =0 ,  D₁ =D/4 =4² -3*5 =16 -15 =1².
x₁  =(4-1)/3 =1;
x₂ =(4+1)/3 =5/3 ;
3x² -8x + 5 =3(x-1)(x-5 /3)      [  ax² +bx +c= a(x-x₁)(x-x₂) ]
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
Функция убывает , если  ее производная меньше нуля 
y ' <0 ⇔3(x-1)(x-5 /3)  < 0 ⇒  x ∈ (1 ; 5/3). 
возрастает если  y ' > 0  ⇔ x  ∈( -∞ ; 1) ∪ (5/3  ; ∞).
y '         +                        -                         +
------------------ (1) ///////////////////( 5/3)------------------
y    возр.                     убыв                  возр. 
                        max                    min