Question

Решить дифференциальное уравнение, расширено
xdy-(5x+y)dx=0, y(1)=3

Answer 1

$xdy-(5x+y)dx=0|:dx \ x frac{dy}{dx} -5x-y=0 \ xy'-y=5x \ y=uv \ y'=u'v+uv' \ xu'v+xuv'-uv=5x \ v(u'x-u)+xuv'=5x \ left { {{u'x-u=0...(1)}} atop {xuv'=5x...(2)} right. \(1): u'x=u \ x frac{du}{dx} =u \ frac{du}{u} = frac{dx}{x} \ lnu=lnx \ u=x \(2): x^2v'=5x \ frac{dv}{dx} = frac{5}{x} \ dv= frac{5dx}{x} \ v=5lnx+C \ y=x(5lnx+C )$
Решим задачу Коши. 
$y(1)=1*(5ln1+C )=3 \ C=3 \ y=x(5lnx+3)$