Question

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Поскольку четырехугольная пирамида ПРАВИЛЬНАЯ, то в основании лежит квадрат. Диагональ квадрата ABCD равен $BD=ADsqrt{2} =8sqrt{2}$ см. Диагонали квадрата пересекаются в точке О и точка О делит диагонали пополам, то есть $BO=OD=dfrac{BD}{2} =4sqrt{2}$ см.

Из прямоугольного треугольника SOD: из определения косинуса найдем боковое ребро пирамиды:

$cos angle mathrm{SDO}=dfrac{mathrm{OD}}{mathrm{SD}} ~~Rightarrow~~ mathrm{SD}=dfrac{mathrm{OD}}{cos45а} =dfrac{4sqrt{2}}{1/sqrt{2}} =8$ см.

Высота SK равнобедренного треугольника SCD делит основание CD пополам, то есть: $mathrm{KD=CK=dfrac{CD}{2}=dfrac{8}{2}=4}$ см

Тогда из прямоугольного треугольника SKC:

$mathrm{SK=sqrt{SC^2-CK^2}=sqrt{8^2-4^2}=4sqrt{3}}$ см. Тогда площадь грани SCD равна $displaystyle mathrm{S_{SCD}=frac{CDcdot SK}{2}=frac{8cdot 4sqrt{3}}{2}=16sqrt{3}}$ см²

Площадь боковой поверхности - это сумма всех площади граней. То есть, зная что у правильной пирамиды все грани равны, то площадь бок. пов.

$mathrm{S_{bok}=4cdot S_{SCD}=4cdot 16sqrt{3}=64sqrt{3}}$ см²

Ответ: 64√3 см².