Question

Шар с отверстием, прикрепленный к пружине, второй конец которой прикреплён к стене, колеблется на горизонтальном стержне. Через некоторое небольшое время    $t_1$    от положения, где его скорость равна нулю – он проходит некоторое небольшое расстояние     $L<<A ,$    где     $A$    – амплитуда. Затем за небольшое время    $t_2$    – он проходит такое же расстояние     $L .$    Во сколько раз первый интервал времени больше второго?

Answer 1

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A cos{ omega t } ,$

имея в виду, что в локальной окрестности сжатия    $x$    – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения    $x$    – это степень растяжения.

Тогда искомая точка:    $x = A - L ;$

$A - L = A cos{ omega t } ,$

$1 - frac{L}{A} = cos{ omega t_1 } ,$

$1 - frac{L}{A} approx 1 - frac{ (omega t_1)^2 }{2} ,$

$frac{L}{A} approx frac{ (omega t_1)^2 }{2} ,$

Аналогично:

$frac{2L}{A} approx frac{ ( omega^2 (t_1+t_2)^2 }{2} ,$

Разделим друг на друга два последних уравнения:

$2 approx ( frac{t_1+t_2}{t_1} )^2 ,$

$2 approx ( 1 + frac{t_2}{t_1} )^2 ,$

$frac{t_2}{t_1} approx sqrt{2} - 1 ,$

$frac{t_1}{t_2} approx frac{1}{ sqrt{2} - 1 } = frac{ sqrt{2} + 1 }{ ( sqrt{2} - 1 ) ( sqrt{2} + 1 ) } = sqrt{2} + 1 ,$

$t_1 approx ( sqrt{2} + 1 ) t_2 ,$

ОТВЕТ: При    $L<<A , t_1$    больше чем    $t_2$    в    $( sqrt{2} + 1 ) approx 2.414$    раза.

*** при больших значениях    $L$    эта закономерность перестаёт выполняться, а при    $L = frac{A}{2}$    соотношение достигает предельного случая, в котором    $frac{t_1}{t_2} = 2 .$

Answer 2

Спасибо за красивую задачу и хорошее решение!