Question

a) Известно, что sina + cosa = p
Найдите; 1) sina*cosa
2) sin²a + cos²a
3) sin³a + cos³a
4) sin⁴a + cos⁴a

б)Зная, что tgφ=$frac{ sqrt{ a^{2} + b^{2} } }{a+b}$ и φ ∈ [0; π/2]


в) Докажите тождество
1) $frac{tgx+tgy}{ctgx + ctgy} = tgxtgy$
2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a

Answer 1

$A)quad sina+cosa=p\\1.quad (sina+cosa)^2=underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1}+2sinacdot cosa=\\=1+2sinacdot cosa; ; Rightarrow ; ; ; p^2=1+2sinacdot cosa\\boxed{sinacdot cosa=frac{p^2-1}{2}}$

$2.; ; ; boxed{sin^2a+cos^2a=1}$

$3.; ; ; (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

$(sina+cosa)^3=sin^3a+cos^3a+3sinacdot cosa(sina+cosa); Rightarrow \\p^3=sin^3a+cos^3a+3cdot frac{p^2-1}{2}cdot p; ; Rightarrow \\sin^3a+cos^3a=p^3-frac{3}{2}cdot pcdot (p^2-1)=p^3-frac{3}{2}p^3+frac{3}{2}p}=-frac{1}{2}p^3+frac{3}{2}p\\boxed {sin^3a+cos^3a=frac{3}{2}p-frac{1}{2}p^3=frac{1}{2}pcdot (3-p^2)}$

$4.; ; ; (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=\\=a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6(ab)^2\\\(sina+cosa)^4=\\=sin^4a+cos^4a+4sinacdot cosacdot (underbrace {sin^2a+cos^2a}_{1})+6(sinacdot cosa)^2\\p^4=sin^4a+cos^4a+4cdot frac{p^2-1}{2}+6cdot left (frac{p^2-1}{2}right )^2\\boxed {sin^4a+cos^4a=p^4-2(p^2-1)-frac{3}{2}cdot left (p^2-1right )^2}$

$B)quad 1.; ; ; frac{tgx+tgy}{ctgx+ctgy} =frac{frac{sinx}{cosx}+frac{siny}{cosy}}{frac{cosx}{sinx}+frac{cosy}{siny}}=\\=frac{(sinxcdot cosy+sinycdot cosx)cdot sinxcdot siny}{(sinycdot cosx+sinxcdot cosy)cdot cosxcdot cosy} = frac{sinx}{cosx} cdot frac{siny}{cosy} =tgxcdot tgy$

$2.; ; ; ctg^2a-cos^2a= frac{cos^2a}{sin^2a} -cos^2a= frac{cos^2a-cos^2acdot sin^2a}{sin^2a} =\\=frac{cos^2a(1-sin^2a)}{sin^2a}= frac{cos^2acdot cos^2a}{sin^2a} = frac{cos^2a}{sin^2a} cdot cos^2a=ctg^2acdot cos^2a$

Answer 2

Привет, в 1.описка.написали sin×cos =1.

Answer 3

А)   sinα +cosα = p ;  
===============
 ОГРАНИЧЕНИЕ НА  p:   p  = sinα +cosα  =√2sin(α+45°) 
 ⇒   |p| ≤ √2  иначе  - √2  ≤ p  ≤ √2  (  или  p ∈  [ -√2 ; √2]   )
в противном случае  , продолжать бессмысленно 
===
1)
sin²α +cos²α =1 _тождество.
2)
(sinα+cosα)² =sin²α +cos²α +2sinα*cosα =1+2sinα*cosα⇔p² = 1 +2sinα*cosα
⇒ sinα*cosα = (p² -1) /2.
3)
sin³α +cos³α = (sinα+cosα) (sin²α -sinα*cosα + cos²α) =p*( 1- (p² -1) /2 ) 
= p( -p² +3)/2.       * * *  p(3 -p²) /3 * * *
4)
просто:   sin⁴α +cos⁴α=(sinα +cosα)( sin³α +cos³α) - sinα*cosα (sin²α +cos²α) = p²( - p² +3)/2 - (p² -1) /2  = (-p⁴+2p² +1)/2 . 
 * * * (sinα +cosα)( sin³α +cos³α) =sin⁴α +cos⁴α +sinα*cosα (sin²α +cos²α) * * *
Можно  использовать формулу  (a+b)⁴ =a⁴ +4a³b +6a²b² +4ab³ +b⁴
⇒a⁴ +b⁴= (a+b)⁴-4ab(a²+b²)-6(ab)² .
sin⁴α +cos⁴α =(sinα +cosα)⁴ -  4sinα *cosα ( sin²α +cos²α) - 6(sinα *cosα )² .
sin⁴α +cos⁴α = (sinα +cosα)⁴ -  4sinα *cosα - 6(sinα *cosα )² 
=p⁴ - 2(p² -1)  - 3(p ² -1)² /2 = (-p⁴+2p² +1)/2 . 
====================================
Б)  Зная, что tgφ= (a²+b²) /(a+b)  и  φ ∈ [0; π/2]
))))  хорошо ,что нет продолжение .....
====================================
В)
Докажите тождество 
1) (tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) =tqx*tqy  
* * * (a+b) /(1/a+1/b) =(a+b) /( (a+b) /ab ) =   ab * * *
(tqx +tqy)/(ctqx +ctqy) = (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy) = (tqx +tqy)/( 1/tqx + 1/tqy)=
(tqx +tqy) /( (tqx + tqy ) / tqx *tqy ) =  tqx *tqy .
2) ctg²a - cos²a = ctg²acos²a 
---
ctg²a  -  cos²a =ctg²a  - ctq²α*sin²α=ctg²a(1 - sin²α) = ctg²a*cos²α .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Основные тригонометрические тождества:
sin²x + cos²x = 1 ; tgx  =  sinx / cosx  ; ctgx  =  cosx / sinx ;  tgx * ctgx = 1 ;
tg²x + 1  =  1 / cos²x   ; ctg²x + 1  =  1/sin²x.