Question

1) В окр. радиуса R=3√3см вписан квадрат. Из вершины ( одной) этого квадрата проведены две хорды, стягивающие дуги по 120° . Найти длину отрезка диагонали квадрата , заключоного между этими хордами

Answer 1

Центр окружности О и центр вписанного квадрата совпадают.
по условию даны хорды ЕВ и ВК.
проведем к ним радиусы ОЕ, ОВ, ОК.
центральный угол равен дуге на которую он опирается
То есть ∠ВОЕ=120° и ∠ВОК=120°
оставшаяся дуга ЕДК = 360°-(120°+120°)=120°, значит
∠ЕОК=120°
Следовательно треугольники ЕОВ, ВОК и  ЕОК равны по первому признаку (две стороны- это радиусы, значит они равны и угол между ними одинаковый -120°)

Значит соответствующие стороны тоже равны, в том числе
ЕВ=ВК=ЕК, отсюда ΔЕВК - равносторонний.
По построению ΔЕВК также вписан в окружность.
Так как ОЕ, ОВ и ОК - радиусы, следовательно О-центр треугольника
Центр правильного (равностороннего) треугольника лежит на пересечении биссектрис, медиан, высот.
Отсюда ВL - высота  ΔЕВК, то есть ∠ОLK=90°

И наконец, рассмотрим треугольник ЕОК:
Он равнобедренный (ЕО=ОК=R)
Значит высота ОL также является медианной и биссектрисой, следовательно ∠ЕОL=∠EOK/2=120/2=60°

из прямоугольного треугольника ЕОL

cos60°=OL/R
OL=Rcos60°=3√3 * 1/2=3√3/2

BL=BO+OL=R+OL=3√3 + (3√3/2)=(6√3/2) + (3√3/2)=9√3/2

ОТВЕТ: 9√3/2