Question

В прямоугольном паралеллепипеде в основании лежит квадрат со стороной 15 а высота 20 найдите расстояние от стороны квадрата до пересекающей её диагонали?

Answer 1

Картинку рисуйте сами по моему описанию. Сторона CD квадрата ABCD;
диагональ BD_1. Проведем через диагональ плоскость, параллельную CD; тогда расстояние между прямыми (стороной и диагональю) равно расстоянию между этой плоскостью и стороной квадрата. Чтобы провести эту плоскость, рассмотрим  сторону AB, параллельную CD, и проведем плоскость через AB и BD_1 - это и будет нужная нам плоскость. Конечно, она проходит еще и через C_1, куб она пересекает по прямоугольнику ABC_1D_1. Чтобы найти расстояние от CD до этой плоскости, возьмем точку на прямой. Пусть это будет точка D. Опустим перпендикулярDE из D на прямую AD_1 и докажем, что он перпендикулярен плоскости. Для этого нужно доказать, что он перпендикулярен двум непараллельным прямым в этой плоскости. Одна из них, естественно, AD_1, другая - AB. Последнее следует из того что DE лежит в плоскости AA_1D_1D, которой AB перпендикулярна. Значит, расстояние от D до плоскости ABC_1D_1 (равное расстоянию между DC и BD_1) равно DE. Чтобы найти DE, заметим, что DE является высотой прямого угла треугольника ADD_1, а для этой высоты есть прекрасная формула "произведение катетов, деленное на гипотенузу". Найдя гипотенузу AD_1 по теореме Пифагора (или сообразив, что этот треугольник является "упятеренным" египетским треугольником 3-4-5 (у нас 15-20-25), приходим наконец к ответу в задаче:  (15·20)/25=12. 

Ответ: 12