Question

Найдите длину окружности , вписанной в трапецию с основаниями 6. см и 1 см и боковой стороной 4 см.

Answer 1

радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты этой трапеции. (диаметр окружности d равен высоте трапеции)

Если в трапецию вписана окружность, значит сумма противоположных сторон этой трапеции равна. 

То есть ВС+AD=AB+CD

1+6=AB+4  ⇒  AB=3

проведем две высоты: ВН и CL

BCLH - прямоугольник, значит BC=HL=1

Если AD=6, то AH+LD=AD-HL=6-1=5

Пусть AH=x , тогда LD=5-x

ВН = CL=h -высоты

Рассмотрим ΔABH и ΔCDL - они прямоугольные, значит для них действует теорема Пифагора

BH²=AB²-AH²

h²=3²-x²

CL²=CD²-LD²

h²=4²-(5-x)²

составляем систему:

$left { {{h^2=9-x^2} atop {h^2=16-(5-x)^2}} right.$

левые части равны, значит приравниваем правые:

9-х²=16-(5-x)²

9-х²=16-25+10х-х²

10х=18

х=1,8

h²=9-x²=9-1.8²=5.76

h=√5.76=2.4

d=h=2.4

C=2πR=πd=2.4π≈2.4*3.14=7.536

ОТВЕТ: 2,4π см или ≈7.536 см