Question

В правильном треугольной пирамиде SABC сторона АВ основания равна 4√3 а высота SH равна 2√5.Точка М- середина ребра ВС,а АТ-высота пирамиды,проведённая к грани SBC.
а)Докажите что точка Т является серединой отрезка SM.
б)Найдите расстояние между прямыми AT и SB.

Answer 1

а) этот вопрос совсем простенький - достаточно доказать, что AM = AS; тогда высота AT треугольника AMS одновременно будет и медианой.
Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника в основании AH, равен стороне, деленной на √3, то есть AH = 4; а высота - в полтора раза больше, то есть AM = 6; 
AS^2 = AH^2 + SH^2 = 4^2 + 2^2*5 = 36; AS = 6 = AM; доказано.
б) тут посложнее, но не на много. Дело в том, что прямые эти взаимно перпендикулярны (AT - высота пирамиды). Поэтому надо найти расстояние от точки T до SB. Из пункта а) следует, что это расстояние в 2 раза меньше, чем от M до SB, то есть половина высоты (к гипотенузе) прямоугольного треугольника MSB c катетом BM = 2√3 и гипотенузой 6;
SM^2 = 6^2 - (2√3)^2 = 24; SM = 2√6;
высота MSB равна (2√3)*(2√6)/6 = 2√2; а нужное расстояние в 2 раза меньше, то есть просто √2;