Question

Ставлю 50 баллов
y = (x^2) / ((x^2)-1)
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции с объяснением.

Answer 1

y = (x^2) / ((x^2) -1)
Найти точки экстремума и интервалы монотонности 
-------------------
f(x)  = x²/(x² -1)   так удобно  ;
ОДЗ :  x² -1≠0 ⇔x ≠±1 ,   т.е.  x∈ ( -∞ ; -1) ∪ (-1; 1) ∪(1 ;∞) .
Четная функция :   f(-x) = (-x)² / ( (-x)² -1 ) = x²/(x² -1)  =  f(-x) 
f ' (x)  =( x²/(x² -1) ' =( (x²)' *(x² -1) - x²*(x² -1)' ) / (x² -1)²  =
=(2x(x² -1)  - x²*2x ) /(x² -1)²  = (2x³ -2x - 2x³) / (x² -1)²  = -x / (x² -1)² .
Критическая точка  функции  это точка ,где производная равно нулю или не существует .
f ' (x) =0 ⇔ -x / (x² -1)² = 0 ⇒ x =0.( единственная точка)  ,т.к. в   ОДЗ производная  функции существует .
Критическая точка   x =0  является точкой  экстремума  (меняется знак производной) ,  а именно точкой максимума  , действительно :
f ' (x) < 0  ⇔  -x / (x² -1)²  < 0 ⇒ x  > 0  (интервалы убывания) 
f ' (x) >  0 ⇒ x <  0  ( интервалы возрастания)   
В точке  x =  0 производная меняет знак с плюса на минус (  " + "  → " - "  )

ответ  : x =0   является точкой максимума  , x ∈  ( -∞ ; -1) ∪ (-1; 0)   функция возрастает  (y ↑) ,  а   x  ∈  ( 0 ; 1) ∪ (1; ∞)  _функция убывает  (y ↓).