Question

Тригонометрия, упростите выражение, пожалуйста

Answer 1

 упростить:  $tg(x- frac{5 pi }{4})*2sin^2 (x+ frac{5 pi }{4})$

1)
$tg(x- frac{5 pi }{4})= frac{tgx-tg frac{5 pi }{4} }{1+tgx*tg frac{5 pi }{4}} =frac{tgx-tg frac{ pi }{4} }{1+tgx*tg frac{ pi }{4}} =frac{tgx-1}{1+tgx} =frac{ frac{sinx}{cosx} -1}{1+ frac{sinx}{cosx} }= frac{ frac{sinx-cosx}{cosx} }{ frac{cosx+sinx}{cosx} }=$$= frac{sinx-cosx}{cosx} }* frac{cosx}{cosx+sinx}= frac{sinx-cosx}{cosx+sinx} }$
2)
$sin(x+ frac{5 pi }{4})=sinx*cos frac{5 pi }{4} +cosx*sin frac{5 pi }{4} =$$=sinx*cos ( pi +frac{ pi }{4}) +cosx*sin( pi + frac{ pi }{4})=-sinx* frac{ sqrt{2} }{2} -cosx* frac{ sqrt{2} }{2} =$$=- frac{ sqrt{2} }{2} (sinx+cosx)$

$tg(x- frac{5 pi }{4})*2sin^2 (x+ frac{5 pi }{4})=frac{sinx-cosx}{cosx+sinx} }*2*(- frac{ sqrt{2} }{2} (sinx+cosx) )^2=$$=frac{sinx-cosx}{cosx+sinx} }*2*frac{1 }{2} (sinx+cosx)^2=(sinx-cosx)(sinx+cosx)=$$sin^2x-cos^2x=-(cos^2x-sin^2x)=-cos2x$

Ответ: - cos2x