Question

помогите пожалуйста :) lg sin 2x=lg sin x

Answer 1

Уравнение равносильно sin 2x = sin x; при этом, конечно, нужно потребовать, чтобы одна из этих функций была > 0 (вторая, будучи равна первой, будет положительна автоматически).
sin x>0 - это означает, что x лежит в верхней полуплоскости.

Переходим к решению уравнению. Можно, конечно расписывать левый синус по формуле двойного угла, но лень.Лучше я вспомню определение синуса как ординаты точки на единичной окружности. Ординаты двух точек совпали означает или совпадение самих точек, либо то, что они находятся симметрично по разные стороны от оси OY. В первом случае

2x=x+2πn⇒x=2πn (не подходит, так как sin 2πn=0),

во втором  

2x=π-x+2πk; 3x=π+2πk; x=π/3+2πk/3.

На окружности эти углы занимают три позиции:

в первой четверти - это когда k=3m; x=π/3+2πm (это нас устраивает, там синус положителен);

в четвертой четверти - это когда k=3m-1; x= - π/3+2πm (это нас не устраивает, так как там синус отрицателен);

на границе второй и третьей четверти - это когда k=3m+1; x= π+2πm (это нас не устраивает, так как там синус равен нулю)

Ответ: π/3+2πm; m∈Z