Question

Помогите решить определенные интегралы.

Answer 1

$1)quad intlimits_1^6 frac{6x+7}{sqrt{3x-2}+1}dx =[; t^2=3x-2,; 2t, dt=3, dx,; \\x=frac{t^2+2}{3},; t=sqrt{3x-2},; t_1=sqrt{18-2}=4,; t_2=sqrt{3-2}=1; ]=\\= intlimits_1^4 frac{2t^2+4+7}{t+1}cdot frac{2t, dt}{3} = frac{2}{3} int _1^4frac{2t^3+11t}{t+1}dt=frac{2}{3}intlimits^4_1 (2t^2-2t+13-frac{13}{t+1})dt=$

$=frac{2}{3}(frac{2t^3}{3}-t^2+13t-13cdot ln|t+1|)|_1^4=\\=frac{2}{3}(frac{128}{3}-16+52-13ln5-(frac{2}{3}-1+13-13ln2))=\\=frac{2}{3}(13-13lnfrac{5}{2})=frac{26}{3}(1-ln2,5)$

$2)quad intlimits_0^{pi } (pi -x)sinxdx =[; u=pi -x,; du=-dx,; dv=sinx, dx,\\v=-cosx; ]=-(pi -x)cosx|_0^{pi }-int _0^{pi }cosx, dx=\\=-(0-pi cdot cospi )-sinx|_0^{pi }=-pi -(sinpi -sin0)=-pi$

$3)quad intlimits^2_1 frac{dx}{x(lnx+1)} =[, t=lnx+1,; dt=frac{dx}{x}; ,t_1=ln1+1=1,\\t_2=ln2+1; ]=int _1^{ln2+1}frac{dt}{t}=ln|t|; |_1^{ln2+1}=ln|ln2+1|-ln1=\\=ln(ln2+1)$