Question

Площадь прямоугольника 192 см.кв. площадь круга описанного около этого прямоугольника равна 100 пи см.кв. Найдите стороны этого прямоугольника

Answer 1

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
$S_1 = ab$
Площадь круга находится по формуле:
$S_2 = pi R^{2}$ = $frac{ pi ( a^{2} +b^{2)} }{4}$, т.к. радиус описанной около прямоугольника равен $R = frac{1}{2} d$, где d - диагональ, а диагональ в свою очередь по теореме Пифагора равна $sqrt{ a^{2} + b^{2} }$. Составим и решим систему двух уравнений:

$left { {{ frac{ pi (a ^{2}+b^{2}) }{4}=100 pi } atop {ab = 192}}} right.$ 

$left { { a^{2} +b^{2} = 400 }atop {ab = 192}} right.$

$left { { a^{2} +b^{2} + 2ab - 2ab = 400 }atop {ab = 192}} right.$

$left { { (a + b) ^{2} - 2*192 = 400 }atop {ab = 192}} right.$

$left { { (a + b) ^{2} - 384 = 400 }atop {ab = 192}} right.$

$left { { (a + b) ^{2} = 784 }atop {ab = 192}} right.$

$left { a + b = 28 }atop {ab = 192}} right.$

$left { b = 28 - a}atop {a(28 - a) = 192}} right.$

$left { b = 28 - a}atop {-a ^{2} +28a - 192 = 0}} right.$

$left { b = 28 - a}atop {a ^{2} -28a + 192 = 0}} right.$

Решим второе уравнение через дискриминант:

$D = 28 ^{2} - 192*4 = 784 - 768 = 16 = 4 ^{2}$

$a_1 = frac{28 + 4}{2} = frac{32}{2} = 16$

$a_2 = frac{28 - 4}{2} = frac{24}{2} = 12$

Значит, стороны равны 12 и 16 см.

Ответ: 12 см; 16 см.