Question

Решить уравнение
sin2x + sin4x=|cosx|

Answer 1

Функция f(x)=sin(2x) + sin(4x)-|cos(x)| периодична с периодом π, т.к.
f(x+π)=sin(2x+2π)+sin(4x+4π)-|cos(x+π)|=f(x), поэтому будем искать корни уравнения f(x)=0 только на интервале [0;π). Остальные корни получатся из них прибавлением πk.
По формуле суммы синусов
2sin(3x)*cos(x)-|cos(x)|=0
1) Если x∈[0;π/2], то cos(x)≥0, и значит 
2sin(3x)*cos(x)-cos(x)=0
cos(x)(2sin(3x)-1)=0
Уравнение cos(x)=0 дает корень x=π/2
Уравнение sin(3x)=1/2 дает
3x=π/6+2πm; x=π/18+2πm/3, из которых на [0;π/2] лежит только  π/18.
3x=5π/6+2πm; x=5π/18+2πm/3, из которых на [0;π/2] лежит только  5π/18.

2) Если x∈(π/2;π), то cos(x)<0, и значит 
2sin(3x)*cos(x)+cos(x)=0
cos(x)(2sin(3x)+1)=0
Уравнение cos(x)=0 не имеет корней на интервале (π/2;π).
Уравнение sin(3x)=-1/2 дает 
3x=-π/6+2πm; x=-π/18+2πm/3, из которых на (π/2;π) лежит только  11π/18 при m=1.
3x=-5π/6+2πm; x=-5π/18+2πm/3, из которых на (π/2;π) корней нет, т.к. при m=1 получаем х=7π/18<π/2.
Итак, ответ: {π/18+πk, 5π/18+πk, π/2+πk, 11π/18+πk: k∈$mathbb{Z}$} .