Question

Решить логарифмические системы

Answer 1

1
log2(x) - log2(y) = 1
x^2 - y^2 = 27

Выражаем x из первого уравнения и подставляем во второе:
log2(x) = 1 + log2(y)
log2(x) = log2(2y)
x = 2y, 2y > 0

(2y)^2 - y^2 = 27
3y^2 = 27
y^2 = 9
y = 3 (корень y = -3 не удовлетворяет условию 2y > 0).
x = 2y = 6
Ответ. (6, 3).

2
lg x + lg y = 2
x^2 + y^2 = 425

Первое уравнение:
lg x + lg y = lg 100
lg xy = lg 100, x > 0
xy = 100, x > 0

Домножаем на 2 и прибавляем и вычитаем ко второму уравнению:
(x + y)^2 = 425 + 200 = 625 = 25^2
(x - y)^2 = 425 - 200 = 225 = 15^2

Есть 4 варианта:
1) x + y = 25, x - y = 15
Складываем и вычитаем:
2x = 40, 2y = 10
x = 20, y = 5
2) x + y = 25, x - y = -15
2x = 10, y = 40
x = 5, y = 20
3) x + y = -25, x - y = -15
2x = -40, x < 0 - не подходит
4) x + y = -25, x - y = 15
2x = -10, x < 0 - не подходит
Ответ. (5, 20), (20, 5).

3
2lg x + lg y = 2
lg x - 2lg y = 1

Домножаем первое на 2 и складываем со вторым:
2(2lg x + lg y) + (lg x - 2lg y) = 2 * 2 + 1
5lg x = 5
lg x = 1
x = 10

Подставляем в первое уравнение и находим y.
2 * 1 + lg y = 2
lg y = 0
y = 1

Ответ. (10, 1).