Question

Помогите, пожалуйста, решить систему дифференциальных уравнений:
{x` = x + 2y,
{y` = 4x - y

Answer 1

$left{begin{array}{l}x'=x+2y\y'=4x-yend{array}$
Продифференцируем первое уравнение:
$x''=x'+2y'$
Подставим в него известное выражение для $y'$:
$x''=x'+2(4x-y) \ x''=x'+8x-2y$
Заменим в исходной системе второе уравнение на только что полученное:
$left{begin{array}{l}x'=x+2y\ x''=x'+8x-2yend{array}$
Складываем уравнения:
$x'+x''=x+x'+8x$
$x''-9x=0$
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
$lambda^2-9=0 \ lambda^2=9 \ lambda=pm3$
Находим $x$:
$x=C_1e^{3t}+C_2e^{-3t}$
Из первого уравнения системы выразим $y$:
$y= dfrac{x'-x}{2}$
Находим $x'$:
$x'=3C_1e^{3t}-3C_2e^{-3t}$
Находим $y$:
$y= dfrac{3C_1e^{3t}-3C_2e^{-3t}-C_1e^{3t}-C_2e^{-3t}}{2} = C_1e^{3t}-2C_2e^{-3t}$
Ответ: $left{begin{array}{l}x=C_1e^{3t}+C_2e^{-3t}\y=C_1e^{3t}-2C_2e^{-3t}end{array}$

Answer 2

Спасибо вам за решение. У меня вопрос: почему вы взяли первым корнем число 3, а не - 3? Обычно записываем корни слева направо. То есть вначале меньшее число, затем большее.

Answer 3

Можно было взять и наоборот, мне захотелось начать с положительного