Question

решите треугольник ABC, если угол A = 45, угол B = 75, AB = 2 корня из 3

Answer 1

Ответ: ∠C = 60°; BC = 2√2; AC = √2 + √6.

Пошаговое объяснение:

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 75° = 60°.

По теореме синусов: $dfrac{AB}{sin angle C}=dfrac{BC}{sin angle A}=dfrac{AC}{sin angle B}$

$BC=dfrac{ABsinangle A}{sin angle C}=dfrac{2sqrt{3}cdot sin45^circ}{sin60^circ}=dfrac{2sqrt{3}cdotfrac{sqrt{2}}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=boxed{2sqrt{2}}$

$AC=dfrac{BCsinangle B}{sinangle A}=dfrac{2sqrt{2}cdot sin75^circ}{sin 45^circ}=dfrac{2sqrt{2}sin75^circ}{frac{sqrt{2}}{2}}=4sin75^circ$

Представим 75 как сумму 45 и 30, тогда

$sin75^circ=sin(30^circ+45^circ)=sin30^circcos45^circ+cos30^circsin45^circ=dfrac{1}{sqrt{2}}bigg(dfrac{1}{2}+dfrac{sqrt{3}}{2}bigg)$

$AC=4sin75^circ=dfrac{4}{sqrt{2}}bigg(dfrac{1}{2}+dfrac{sqrt{3}}{2}bigg)=boxed{sqrt{2}+sqrt{6}}$