Question

$left { {{xy+24= frac{x^3}{y} } atop {xy-6= frac{y^3}{x} }} right.$
Решите пожалуйста систему уравнений

Answer 1

Если 2 уравнение умножить на 4 и сложить, то получится
$xy+24+4xy-24= frac{x^3}{y} + frac{4y^3}{x} = frac{x^4 + 4y^4}{xy}$
$5xy= frac{x^4+4y^4}{xy}$
5x^2*y^2 = x^4 + 4y^4
x^4 - 5x^2*y^2 + 4y^4 = 0
x^4 - x^2*y^2 - 4x^2*y^2 + 4y^4 = 0
x^2*(x^2 - y^2) - 4y^2*(x^2 - y^2) = 0
(x^2 - y^2)*(x^2 - 4y^2) = 0
(x - y)(x + y)(x - 2y)(x + 2y) = 0
1) x = y; подставляем в любое уравнение
x*x + 24 = x^3/x
x^2 + 24 = x^2
Решений нет
2) x = -y
x(-x) + 24 = x^3/(-x)
-x^2 + 24 = -x^2
Решений нет
3) x = 2y
2y*y + 24 = 8y^3/y
2y^2 + 24 = 8y^2
6y^2 = 24; y^2 = 4
y1 = -2; x1 = -4
y2 = 2; x2 = 4
4) x = -2y
(-2y)*y + 24 = (-8y^3)/y
-2y^2 + 24 = -8y^2
-6y^2 = 24
Решений нет, y^2 не может быть отрицательным.
Ответ: (-4; -2); (4; 2)