Question

y=cos2x/sin(x+pi/4) {0;pi/2} производная

Answer 1

Находим производную функции. Воспользуемся формулой производной частного.
$y^{'}=...= dfrac{(cos 2x)^{'}cdot sin(x+ frac{pi}{4}) -cos 2xcdot (sin (x+frac{pi}{4}))^{'}}{sin^2(x+frac{pi}{4})} =\\ = dfrac{-2sin 2xcdot sin(x+frac{pi}{4})-cos 2xcdot cos(x+frac{pi}{4})}{sin^2(x+frac{pi}{4})}$
Приравниваем производную функции к нулю:
$-2sin 2xcdotsin(x+frac{pi}{4})-cos 2xcdotcos (x+frac{pi}{4})=0|:cos 2xcos(x+frac{pi}{4})\ -2tg 2xcdot tg(x+frac{pi}{4})-1=0$
Воспользуемся формулами:
 $tg (a+b)= dfrac{tga + tg b}{1-tg acdot tgb}$ и $tg 2x= dfrac{2tg x}{1-tg^2x}$

$-2cdot dfrac{2tg x}{1-tg^2x} cdot dfrac{tgx+1}{1-tg x} -1=0 \ \ - dfrac{4tg x}{(1-tg x)(1+tg x)} cdot dfrac{tg x+1}{1-tg x} -1=0\ \ dfrac{-4tg x}{(1-tg x)^2} -1=0$
Приводим дробь к общему знаменателю:
$dfrac{-4tg x-(1-tgx)^2}{(1-tg x)^2} =0$
Дробь обращается в нуль, если числитель равен нулю :
$-4tg x-(1-tgx)^2=0\ -4tg x-1+2tgx-tg^2x=0\ -tg^2x-2tg x-1=0\ -(tg^2x+2tg x+1)=0\ -(tg x+1)^2=0\ tg x = -1\ \ x=- dfrac{pi}{4}+ pi n ,n in mathbb{Z}$

Подберем корни, которые принадлежат заданному отрезку:
$n=1;,,,,, x=- dfrac{pi}{4}+pi = dfrac{3pi}{4}$ - не принадлежит заданному отрезку.

Вычислим значение функции на отрезке:
$y(0)= dfrac{cos(2cdot 0)}{sin (0+ dfrac{pi}{4} )} = dfrac{1}{ dfrac{1}{sqrt{2}} } =sqrt{2}$ - наибольшее значение


$y( dfrac{pi}{2} )= dfrac{cos(2cdot dfrac{pi}{2}) }{sin ( dfrac{pi}{2} + dfrac{pi}{4} )} = dfrac{-1}{ dfrac{1}{sqrt{2}} } =-sqrt{2}$ - наименьшее значение

Answer 2

спасибо, вам большое!)