Question

Решите эти уравнения:

Answer 1

$begin{cases} & text{ } x+3y-z=8 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(star)\ & text{ } 2x-y+4z=-1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(starstar)\ & text{ } -2x+2y+z=4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(starstarstar) end{cases}$
Из уравнения $(star)$ выразим переменную $x , :$
$begin{cases} & text{ } x=8-3y+z \ & text{ } 2x-y+4z=-1 \ & text{ } -2x+2y+z=4 end{cases}$
Подставим вместо переменной $x$ в уравнение $(starstar)$ и $(starstarstar)$
$begin{cases} & text{ } 2(8-3y+z)-y+4z=-1 \ & text{ } -2(8-3y+z)+2y+z=4 end{cases}$
Раскроем скобки и приводим подобные слагаемые:
$begin{cases} & text{ } -6y+2z+16-y+4z=-1 \ & text{ } 6y-2z-16+2y+z=4 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } -7y+6z=-17 \ & text{ } 8y-z=20,,,,,,,,, (*) end{cases}$
Из уравнения $(*)$ выразим переменную $z, :$
$begin{cases} & text{ } -7y+6z=-17 \ & text{ } z= 8y-20 end{cases}$
Подставим переменную $z, :$
$-7y+6cdot(8y-20)=-17\ -7y+48y-120=-17\ 41y=103\ \ y= dfrac{103}{41}$

Осталось найти переменные $x$ и $z$ :
$z=8y-20=8cdotdfrac{103}{41} -20=dfrac{8cdot103}{41} -dfrac{20cdot 41}{41} = dfrac{4}{41}$

$x=-3y+z+8=-3cdotdfrac{103}{41} +dfrac{4}{41} +8=dfrac{23}{41}$


Ответ: $left(dfrac{23}{41} ;dfrac{103}{41} ;dfrac{4}{41} right).$


$begin{cases} & text{ } -x+4y-z=5 ,,,,,,,,,,(1)\ & text{ } 2x-2y+3z=-3,,,,,,,,,(2) \ & text{ } -2x+y+2z=2 ,,,,,,,,,,(3)end{cases}$
Из уравнения $(1)$ выразим переменную $x:$
$begin{cases} & text{ } x=-5+4y-z \ & text{ } 2x-2y+3z=-3 \ & text{ } -2x+y+2z=2 end{cases}$
В уравнении $(2)$ и $(3)$подставим вместо переменной $x$
$begin{cases} & text{ } 2(4y-z-5)-2y+3z=-3 \ & text{ } -2(4y-z-5)+y+2z=2 end{cases}$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$begin{cases} & text{ } 8y-2z-10-2y+3z=-3 \ & text{ } -8y+2z+10+y+2z=2 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } 6y+z=7 ,,,,,,(**)\ & text{ } -7y+4z=-8 ,,,,,(***) end{cases}$
Из уравнения $(**)$ выразим переменную $z$ и подставим в уравнение $(***):$
$begin{cases} & text{ } z=-6y+7 \ & text{ } -7y+4(-6y+7)=-8 end{cases}\ \ -7y-24y+28=-8\ -31y=-36\ y= dfrac{36}{31}$

Найдем переменные $x$ и $z:$

$z=-6y+7=-6cdot dfrac{36}{31}+7=- dfrac{6cdot36}{31} +dfrac{7cdot 31}{31}=dfrac{1}{31}$

$x=4y-z-5=4cdot dfrac{36}{31}-dfrac{1}{31}-5=-dfrac{12}{31}$


Ответ: $left(-dfrac{12}{31};dfrac{36}{31};dfrac{1}{31}right).$