Question

В треугольнике ABC AC= BC, K - точка пересечения биссектрис треугольника, а O - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Отрезок OK пересекает сторону AB в точке E и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треугольника ABC.

Answer 1

Я заранее прошу прощения за это решение, чего-то голова не работает сегодня.
Ясно, что 1) треугольник тупоугольный - потому что центр описанной окружности O лежит за пределами треугольника. 2) все симметрично относительно высоты треугольника, проведенной к основанию, и оба центра - K и O, лежат на прямой, содержащей эту высоту (ось симметрии).
Далее, фигура AKBO - ромб, так как диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой E (OK по условию, а AB - в силу упомянутой симметрии). В ромбе диагонали - заодно и биссектрисы углов, поэтому ∠KAO = ∠CAB = 2*∠OAB; (я напомню, что AK - биссектриса ∠CAB;)
В результате получилось, что CE = R - r; R - радиус описанной окружности, r - вписанной, α = ∠CAB = ∠OAB; ∠OAB = α/2;
AC*sin(α) = R - r;
AC = 2*R*sin(α); (теорема синусов)
r = R*sin(α/2); 
исключая AC и подставляя r/R = sin(α/2) = x; легко получить
1 - sin(α/2) = 2*(sin(α))^2 = 8*(sin(α/2))^2*(1 - (sin(α/2)^2);
8x^3 + 8x^2 - 1 =0; или x^3 + x^2 - 1/8 = 0;
плохое кубическое уравнение, однако немного подумав, можно сообразить, что x = -1/2; - корень. Если сократить на (x + 1/2); получится уже квадратное уравнение
x^2 + x/2 - 1/4 = 0;
Единственный положительный (и меньше 1) корень этого уравнения
x = (√5 - 1)/4;
это синус 18°;
поэтому сам угол при основании равен 36°;

Answer 2

Ну конечно, надо еще и знать, что sin(18°) = (√5 - 1)/4; есть очень известная задачка (есть равнобедренный треугольник, у которого биссектриса к боковой стороне равна основанию и - кроме того - равна отрезку который она отсекает от боковой стороны, считая от вершины). Очень легко найти углы этого треугольника и их тригонометрические функции.