Question

докажите числовое равенство:
log4(4√6 - 10)^2 + log4(4√2 + 10)^3=2

Answer 1

Раскроем скобки
(4√6 - 10)^2 = 16*6 - 2*4*10√6 + 100 = 196 - 80√6
(4√2 + 10)^3 = 64*2√2 + 3*16*2*10 + 3*4√2*100 + 1000 = 1960 + 1328√2
Сумма логарифмов по одному основанию равна логарифму произведения.
log4 (4√6 - 10)^2 + log4 (4√2 + 10)^3 = log4 [(196 - 80√6)(1960 + 1328√2)] =
= log4 (196*1960 - 1960*80√6 + 196*1328√2 - 80*1328√12)
Если бы этот логарифм равнялся 2, то скобка равнялась бы 4^2=16.
Это иррационально число, оно 16 никак не равно.
Значит, в задании ошибка.

Answer 2

докажите числовое равенство:
log4(4√6 - 10)^2 + log4(4√2 + 10)^3=2    * * *  log4(4√2 + 10)^3    - ??? * * *
-----------
Log₄  (4√6 - 10)²  + Log₄ (4√6 + 10)²  = 2Log₄ | 4√6 - 10| +2Log₄ (4√6 + 10) = 
2*(Log₄ (10 - 4√6) +Log₄ (10 + 4√6) ) = 2*Log₄ (10 - 4√6)*(10 + 4√6)  =
2*Log₄ (10² - (4√6)²)   = 2*Log₄ (100- 16*6) =2*Log₄ 4   = 2.

* * * * * *
!!! Log₄ (4√2 + 10)³ = Log₄ (4√2 + 10)³=  Log₄ (1328√2 +1960)  ≠
 Log₄ (4√6 + 10)² =  Log₄ (196 + 80√6) .
---
допустим   верно первое слагаемое  Log₄  (4√6 - 10) , определим второе слагаемое  A  так, чтобы имело место равенство :
Log₄  (4√6 - 10)²  + A =2 ⇒   A = 2 -  Log₄  (4√6 - 10)²  =
Log₄ 4² -  Log₄  (4√6 - 10)²  = Log₄  (4/(4√6 - 10)) ²  = 
Log₄  (4 (4√6 + 10 )/(4√6 - 10)(4√6 + 10) ) ² = Log₄  (4 (4√6 + 10 )/(-4) ) ² =
Log₄  (- (4√6 + 10 ) ) ² = Log₄  (4√6 + 10 )² .