Опять 50 баллов для самых умных!
Найти все значения a, при которых корни уравнения (a-1)x2+2(a-2)x+a+1=0 положительны.
Ответы
Ответ дал:
0
Найти все значения a, при которых корни уравнения положительны
![displaystyle (a-1)x^2+2(a-2)x+a+1=0 displaystyle (a-1)x^2+2(a-2)x+a+1=0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+%28a-1%29x%5E2%2B2%28a-2%29x%2Ba%2B1%3D0)
1) а=1
![displaystyle (1-1)x^2+2(1-2)x+1+1=0
-2x+2=0
x=1 displaystyle (1-1)x^2+2(1-2)x+1+1=0
-2x+2=0
x=1](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+%281-1%29x%5E2%2B2%281-2%29x%2B1%2B1%3D0%0A%0A-2x%2B2%3D0%0A%0Ax%3D1)
2) a≠1
найдем дискриминант
![displaystyle D=4(a-2)^2-4(a-1)(a+1)=20-16a displaystyle D=4(a-2)^2-4(a-1)(a+1)=20-16a](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+D%3D4%28a-2%29%5E2-4%28a-1%29%28a%2B1%29%3D20-16a)
чтобы были решения нужно чтобы D≥0
![displaystyle 20-16a geq 0
a leq 1.25 displaystyle 20-16a geq 0
a leq 1.25](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+20-16a+geq+0%0A%0Aa+leq+1.25)
теперь найдем корни уравнения
первый корень
![displaystyle x_1 =frac{-2(a-20+ sqrt{20-16a}}{2(a-1)} textgreater 0 displaystyle x_1 =frac{-2(a-20+ sqrt{20-16a}}{2(a-1)} textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+x_1+%3Dfrac%7B-2%28a-20%2B+sqrt%7B20-16a%7D%7D%7B2%28a-1%29%7D+textgreater++0+)
при этом а≠1
решим неравенство
![displaystyle frac{4-2a+sqrt{20-16a}}{2(a-1)} textgreater 0 displaystyle frac{4-2a+sqrt{20-16a}}{2(a-1)} textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++frac%7B4-2a%2Bsqrt%7B20-16a%7D%7D%7B2%28a-1%29%7D+textgreater++0+)
найдем нули числителя
![displaystyle 4-2a+ sqrt{20-16a}=0 displaystyle 4-2a+ sqrt{20-16a}=0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+4-2a%2B+sqrt%7B20-16a%7D%3D0+)
где a≤1.25
![displaystyle sqrt{20-16a}=2a-4 displaystyle sqrt{20-16a}=2a-4](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++sqrt%7B20-16a%7D%3D2a-4+)
2a-4≥0
a≥2
Значит числитель нулю при а≤1,25 не равен
расставим знаки
_____-__________+_______
1 1,25
Значит а∈(1;1.25]
второй корень
![displaystyle x_2= frac{-2(a-2)- sqrt{20-16a}}{2(a-1)} textgreater 0 displaystyle x_2= frac{-2(a-2)- sqrt{20-16a}}{2(a-1)} textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+x_2%3D+frac%7B-2%28a-2%29-+sqrt%7B20-16a%7D%7D%7B2%28a-1%29%7D+textgreater++0+)
при а≠1 решим это неравенство
найдем нули числителя
![displaystyle 4-2a- sqrt{20-16a}=0
4-2a= sqrt{20-16a}
displaystyle 4-2a- sqrt{20-16a}=0
4-2a= sqrt{20-16a}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+4-2a-+sqrt%7B20-16a%7D%3D0%0A%0A4-2a%3D+sqrt%7B20-16a%7D%0A%0A++)
где 4-2а≥0; a≤2
![displaystyle (4-2a)^2=20-16a
16-16a+4a^2=20-16a
a^2=1
a_1=1; a_2=-1 displaystyle (4-2a)^2=20-16a
16-16a+4a^2=20-16a
a^2=1
a_1=1; a_2=-1](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+%284-2a%29%5E2%3D20-16a%0A%0A16-16a%2B4a%5E2%3D20-16a%0A%0Aa%5E2%3D1%0A%0Aa_1%3D1%3B+a_2%3D-1)
расставим знаки
___-______+_____+_____
-1 1 1,25
при a∈[-1;1)∪(1;1.25]
теперь найдем пересечение решений
a=1. a∈(1;1.25] a∈[-1;1)∪(1;1.25]
ответ a∈[1;1.25]
1) а=1
2) a≠1
найдем дискриминант
чтобы были решения нужно чтобы D≥0
теперь найдем корни уравнения
первый корень
при этом а≠1
решим неравенство
найдем нули числителя
где a≤1.25
2a-4≥0
a≥2
Значит числитель нулю при а≤1,25 не равен
расставим знаки
_____-__________+_______
1 1,25
Значит а∈(1;1.25]
второй корень
при а≠1 решим это неравенство
найдем нули числителя
где 4-2а≥0; a≤2
расставим знаки
___-______+_____+_____
-1 1 1,25
при a∈[-1;1)∪(1;1.25]
теперь найдем пересечение решений
a=1. a∈(1;1.25] a∈[-1;1)∪(1;1.25]
ответ a∈[1;1.25]
Ответ дал:
0
Рассмотрим сначала случай a=1:
-2x+2=0; x=1>0.
Пусть a≠1, тогда имеем квадратное уравнение.
Найдем его дискриминант:
D=4((a-2)^2-(a-1)(a+1))=4(-4a+5)
Если D<0, то есть a>5/4, то корней нет
Если D=0, то есть a=5/4, то корень один (или, как правильнее говорить, их два, но они совпали. Еще говорят: кратный корень):
x= - (a-2)/(a-1)=3>0
Если D>0 (то есть a<5/4), корней два.
Один из возможных методов рассуждения основан на теореме Виета и на следующем простом соображении:
Два числа положительны тогда и только тогда, когда их произведение и сумма положительны.
Отсюда получаем систему (a+1)/(a-1)>0; (2-a)/(a-1)>0,
решив которую методом интервалов, получаем условие
a∈(1;2).
Но a<5/4⇒ a∈(1;5/4).
Вспоминая полученные ранее значения a, получаем
Ответ: [1;5/4]
Замечание для тех, кто входит в категорию 16+ )))
Ответ в задаче зависит от того, как интерпретировать условие.
Что значит "корнИ"? То есть корней должно быть больше одного?
А если корень кратный, он один или их два?
По хорошему, чтобы не было разночтений, в условии должно быть написано: ХОТЯ БЫ ОДНО РЕШЕНИЕ. И именно решение, а не корень, чтобы решающий не мучился вопросом - кратный корень - это корень или корни. Возможна и такая формулировка: хотя бы одно значение x, удовлетворяющее уравнению.
-2x+2=0; x=1>0.
Пусть a≠1, тогда имеем квадратное уравнение.
Найдем его дискриминант:
D=4((a-2)^2-(a-1)(a+1))=4(-4a+5)
Если D<0, то есть a>5/4, то корней нет
Если D=0, то есть a=5/4, то корень один (или, как правильнее говорить, их два, но они совпали. Еще говорят: кратный корень):
x= - (a-2)/(a-1)=3>0
Если D>0 (то есть a<5/4), корней два.
Один из возможных методов рассуждения основан на теореме Виета и на следующем простом соображении:
Два числа положительны тогда и только тогда, когда их произведение и сумма положительны.
Отсюда получаем систему (a+1)/(a-1)>0; (2-a)/(a-1)>0,
решив которую методом интервалов, получаем условие
a∈(1;2).
Но a<5/4⇒ a∈(1;5/4).
Вспоминая полученные ранее значения a, получаем
Ответ: [1;5/4]
Замечание для тех, кто входит в категорию 16+ )))
Ответ в задаче зависит от того, как интерпретировать условие.
Что значит "корнИ"? То есть корней должно быть больше одного?
А если корень кратный, он один или их два?
По хорошему, чтобы не было разночтений, в условии должно быть написано: ХОТЯ БЫ ОДНО РЕШЕНИЕ. И именно решение, а не корень, чтобы решающий не мучился вопросом - кратный корень - это корень или корни. Возможна и такая формулировка: хотя бы одно значение x, удовлетворяющее уравнению.
Ответ дал:
0
Дописал свои соображения в текст решения
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
9 лет назад
9 лет назад