Question

55 баллов за решение
1) Sin^4 x+cos^4 x = cos4x
2) При каких значениях параметра a уравнение не имеет решений?
5sin2x + 12cos2x=2a-1

Answer 1

$sin^4x+cos^4x=cos4x$
Добавим и вычтем слагаемые $2sin^2xcos^2x$
$sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x=cos4x\ \ (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=cos4x\ \ 1-0.5sin^22x=1-2sin^22x\ \ 2sin^22x-0.5sin^22x=0\ 1.5sin^22x=0\ \ sin 2x=0\ \ 2x= pi k,k in mathbb{Z}|:2\ \ x= dfrac{pi k}{2},k in mathbb{Z}$

$5sin 2x+12cos2x=2a-1$

Формула: $asin xpm b cos x= sqrt{a^2+b^2} sin(xpmarcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} })$

В нашем случае:

$sqrt{5^2+12^2} sin(2x+arcsin frac{12}{ sqrt{5^2+12^2} }) =2a-1\ \ 13sin(2x+arcsin frac{12}{13} )=2a-1\ \ sin (2x+arcsin frac{12}{13})= dfrac{2a-1}{13}$

Уравнение решений не имеет, если 
$bigg|dfrac{2a-1}{13} bigg | textgreater 1$

$left[begin{array}{ccc}dfrac{2a-1}{13} textgreater 1\ dfrac{2a-1}{13} textless -1end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}2a-1 textgreater 13\ 2a-1 textless -13end{array}rightRightarrow left[begin{array}{ccc}a textgreater 7\a textless -6end{array}right$


Ответ: при $a in (-infty;-6)cup(7;+infty)$