Question

Решите неравенство:
$(x-3)sqrt{ x^{2}+4 } leq x^{2} -9$

Answer 1

$(x-3) sqrt{x^2+4} -(x^2-9) leq 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (star)$

Рассмотрим функцию: $f(x)=(x-3) sqrt{x^2+4} -(x^2-9)$
Область определения функци: множество всех действительных чисел, то есть: $D(f)=mathbb{R}=(-infty;+infty)$

Найдем нули функции:
 $f(x)=0;,,, (x-3) sqrt{x^2+4} -(x^2-9)=0\ (x-3) sqrt{x^2+4} -(x-3)(x+3)=0$
Выносим общий множитель:
$(x-3) (sqrt{x^2+4} -(x+3))=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, то есть:
$x-3=0\ x=3$

$sqrt{x^2+4} -(x+3)=0\ sqrt{x^2+4} =x+3$
Возведем обе части в квадрат
$big( sqrt{x^2+4}, big)^2=big(x+3big)^2$ получим:

$x^2+4=x^2+6x+9\ 6x=4-9\ x=- frac{5}{6}$

Находим решение неравенства $(star)$

__-___[-5/6]___+___[3]___-___

$boxed{x in (-infty;- frac{5}{6} ]cup[3+infty)}$ - решение неравенства $(star)$