Question

Помогите с задачей по геометрии (8 класс). Задача №6:
Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с высотой трапеции угол a. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.

Answer 1

Угол ACD =90° (дано)  => центр описанной около равнобокой трапеции окружности лежит на середине большего основания, так как вписанный угол ACD опирается на диаметр.  =>  AD = 2R.

Опустим высоту СН. Угол АСН = α  (дано).

тогда в прямоугольном треугольнике АСН

Cosα = h/d (отношение прилежащего катета h к гипотенузе d).  =>

h = d*Cosα  (1)

Высота СН делит прямоугольный треугольник АСD на подобные треугольники АСН и CDH (свойство)  =>  <ACH = <CDH = α.

Тогда в прямоугольном треугольнике АСD

Sinα = d/2R (отношение противолежащего катета d к гипотенузе

AD = 2R).  =>   d = 2R*Sinα. (2)

подставим (2) в (1):

Ответ: h = 2R*Sinα*Cosα.