Question

Установите, что последовательность аn=(0,999)^n является убывающей. Используя теорему Вейерштрасса, установите, что ее предел равен 0.

Answer 1

Ограничение снизу: очевидно, a(n) >=0 как произведение n положительных чисел 0,999.
Убывание: a(n+1) = 0.999a(n) < a(n)
0 = inf{a(n)}, т.к. a(n)>=0 и для любого 0<e<0.5 в последовательности найдётся член a(k) < e (например, при k = [log0.999(e)]+1).

Теорема Вейерштрасса: если {a(n)} - убывающая ограниченная последовательность, то она имеет предел, притом этот предел равен inf{a(n)}