Question

1) Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи ?
2) Значение арифметического выражения: 3∙16^8 – 4^5 + 3 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Answer 1

1) 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 (см. рис)
Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что
25 = 27-2 = 3^3-2∙3^0
27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 = (3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^8 - 3^3 + 2∙3^0 = 
(3^12 - 3^10) + (3^8 - 3^3) + 2∙3^0
Найдем значение разности в первой скобке, учитывая что 12-ая степени тройки в троичной системе это 1000000000000(3), а 10-ая степень - это 10000000000(3)
 1000000000000(3)
-
   10000000000(3)
-----------------
  220000000000(3)
Т.е. в троичной записи 12–10 = 2 «двойки» и 10 «нулей».
Вычислим аналогично вторую скобку:
 100000000(3)
-
      1000(3)
-----------------
  22222000(3)
Т.е. в троичной записи 8–3 = 5 «двоек» и 3 «нуля».
Таким образом, общее количество двоек = 2+5+1 = 8

2) 3∙16^8 – 4^5 + 3 (см. рис)
Приведём все числа к степеням четверки:
3∙16^8 – 4^5 + 3 = 3∙(4^2)^8 – 4^5 + 3∙4^0 = 3∙4^16 – 4^5 + 3∙4^0
Найдем значение разности, учитывая что 3∙4^16 в системе счисления с основанием 4 это одна «тройка» и 16 «нулей», а 4^5 - это одна «единица» и 5 «нулей»:
 30000000000000000(4)
-
            100000(4)
 --------------------
 23333333333300000(4) (одна «двойка», 11 «троек» и 5 «нулей»)
Таким образом, общее количество троек = 11+1 = 12