Question

Несколько наклонных плоскостей имеют общее основание. При каком угле наклона плоскости к горизонту альфа время соскальзывания тела будет наименьшим? Трение отсутствует.

Answer 1

• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α

• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:

$L= frac{a t^{2} }{2}$

○ поэтому время скатывания равно:

$t= sqrt{ frac{2L}{a} }$

• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)

• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)

○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:

$t= sqrt{ frac{2b}{gsin alpha cos alpha } }$

• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):

$t= sqrt{ frac{4b}{gsin2 alpha } } \ \ frac{1}{2sqrt{ frac{4b}{gsin2 alpha } }} frac{0-4gb(sin2 alpha )'}{ g^{2} sin^{2}2 alpha }=0 \ \ frac{1}{2} sqrt{ frac{gsin2 alpha }{4b} } frac{-4gb2cos2 alpha }{ g^{2} sin^{2}2 alpha } =0 \ \ - sqrt{ frac{gsin2 alpha }{b} } frac{2bcos2 alpha }{g sin^{2}2 alpha } =0 \ \ - frac{ sqrt{sin2 alpha }2 sqrt{b}cos2 alpha }{ sqrt{g} sin^{2}2 alpha } =0$

данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):

$cos2 alpha =0 \ \ 2 alpha = frac{ pi }{2} + pi k \ \ alpha = frac{pi}{4}+ frac{pi k}{2}$

ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:

$sin2 alpha neq 0 \ \ a neq frac{pi k}{2}$

то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°