Несколько наклонных плоскостей имеют общее основание. При каком угле наклона плоскости к горизонту альфа время соскальзывания тела будет наименьшим? Трение отсутствует.
Ответы
Ответ дал:
0
• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α
• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:
![L= frac{a t^{2} }{2} L= frac{a t^{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D+frac%7Ba+t%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
○ поэтому время скатывания равно:
![t= sqrt{ frac{2L}{a} } t= sqrt{ frac{2L}{a} }](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+sqrt%7B+frac%7B2L%7D%7Ba%7D+%7D+)
• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)
• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)
○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:
![t= sqrt{ frac{2b}{gsin alpha cos alpha } } t= sqrt{ frac{2b}{gsin alpha cos alpha } }](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+sqrt%7B+frac%7B2b%7D%7Bgsin+alpha+cos+alpha+%7D+%7D+)
• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):
![t= sqrt{ frac{4b}{gsin2 alpha } } \ \ frac{1}{2sqrt{ frac{4b}{gsin2 alpha } }} frac{0-4gb(sin2 alpha )'}{ g^{2} sin^{2}2 alpha }=0 \ \ frac{1}{2} sqrt{ frac{gsin2 alpha }{4b} } frac{-4gb2cos2 alpha }{ g^{2} sin^{2}2 alpha } =0 \ \ - sqrt{ frac{gsin2 alpha }{b} } frac{2bcos2 alpha }{g sin^{2}2 alpha } =0 \ \ - frac{ sqrt{sin2 alpha }2 sqrt{b}cos2 alpha }{ sqrt{g} sin^{2}2 alpha } =0
t= sqrt{ frac{4b}{gsin2 alpha } } \ \ frac{1}{2sqrt{ frac{4b}{gsin2 alpha } }} frac{0-4gb(sin2 alpha )'}{ g^{2} sin^{2}2 alpha }=0 \ \ frac{1}{2} sqrt{ frac{gsin2 alpha }{4b} } frac{-4gb2cos2 alpha }{ g^{2} sin^{2}2 alpha } =0 \ \ - sqrt{ frac{gsin2 alpha }{b} } frac{2bcos2 alpha }{g sin^{2}2 alpha } =0 \ \ - frac{ sqrt{sin2 alpha }2 sqrt{b}cos2 alpha }{ sqrt{g} sin^{2}2 alpha } =0](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+sqrt%7B+frac%7B4b%7D%7Bgsin2+alpha+%7D+%7D++%5C++%5C++frac%7B1%7D%7B2sqrt%7B+frac%7B4b%7D%7Bgsin2+alpha+%7D+%7D%7D+frac%7B0-4gb%28sin2+alpha+%29%27%7D%7B+g%5E%7B2%7D+sin%5E%7B2%7D2+alpha+++%7D%3D0+++%5C++%5C++frac%7B1%7D%7B2%7D++sqrt%7B+frac%7Bgsin2+alpha+%7D%7B4b%7D+%7D+frac%7B-4gb2cos2+alpha+%7D%7B+g%5E%7B2%7D+sin%5E%7B2%7D2+alpha+++%7D+%3D0++%5C++%5C+-+sqrt%7B+frac%7Bgsin2+alpha+%7D%7Bb%7D+%7D+frac%7B2bcos2+alpha+%7D%7Bg+sin%5E%7B2%7D2+alpha++%7D++%3D0+%5C++%5C+-+frac%7B+sqrt%7Bsin2+alpha+%7D2+sqrt%7Bb%7Dcos2+alpha+++%7D%7B+sqrt%7Bg%7D+sin%5E%7B2%7D2+alpha+++%7D+%3D0%0A)
данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):
![cos2 alpha =0 \ \ 2 alpha = frac{ pi }{2} + pi k \ \ alpha = frac{pi}{4}+ frac{pi k}{2} cos2 alpha =0 \ \ 2 alpha = frac{ pi }{2} + pi k \ \ alpha = frac{pi}{4}+ frac{pi k}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=cos2+alpha+%3D0+%5C++%5C+2+alpha+%3D+frac%7B+pi+%7D%7B2%7D+%2B+pi+k++%5C++%5C++alpha+%3D+frac%7Bpi%7D%7B4%7D%2B+frac%7Bpi+k%7D%7B2%7D+++)
ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:
![sin2 alpha neq 0 \ \ a neq frac{pi k}{2} sin2 alpha neq 0 \ \ a neq frac{pi k}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=sin2+alpha++neq+0++%5C++%5C+a+neq++frac%7Bpi+k%7D%7B2%7D+)
то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°
• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:
○ поэтому время скатывания равно:
• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)
• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)
○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:
• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):
данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):
ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:
то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
8 лет назад
9 лет назад