Question

касательная к графику функции у=х(корень из х+2) в точке х0=4 пересекает ось Ох в точке А. найдите абсциссу точки А

Answer 1

$y=x sqrt{x+2} , x_0=4$

Уравнение касательной:

$1) y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$

Находим все необходимое:
$y'=(x)' sqrt{x+2} +(sqrt{x+2})'x=sqrt{x+2}+ frac{x}{2sqrt{x+2}} \ \ y'(x_0)=sqrt{4+2}+ frac{4}{2sqrt{4+2}} = sqrt{6} + frac{4}{2 sqrt{6} } = frac{16}{2 sqrt{6} } = frac{8}{sqrt{6}} \ \ y(x_0)=4sqrt{4+2}=4 sqrt{6}$

Подставляем в уравнение касательной:

$y=frac{8}{sqrt{6}}(x-4)+4 sqrt{6}$
Если график пересекает ось Х, то в этой точке у=0
Значит нужно найти координату х (абсциссу точки А)

$0=frac{8}{sqrt{6}}(x-4)+4 sqrt{6} \ \ frac{8}{sqrt{6}}(x-4)+4 sqrt{6}=0 \ \ frac{8}{sqrt{6}}x- frac{32}{sqrt{6}}-4 sqrt{6} =0 |* sqrt{6} \ \ 8x-32-4*6=0 \ \ 8x-32-24=0 \ \ 8x-56=0 \ \ 8x=56 \ \ x=56/8=7 \ \ OTBET: A=7$