Question

Теорема Чевы. Доказательство теоремы. Пример использования. Четкий, понятный и читаемый рисунок.

Answer 1

Теорема Чевы. Дан треугольник $ABC$ и точки $A_1, B_1, C_1$
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки 
$AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$frac{AB_1}{B_1C}cdot frac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}=1$


Лемма. Если числа $a, b, c, d$ таковы, что 
$frac{a}{b}=frac{c}{d},$
то

$frac{a}{b}=frac{c}{d}=frac{a+c}{b+d}=frac{a-c}{b-d}= frac{2a+3c}{2b+3d}=ldots = frac{lambda a+mu c}{lambda b+mu d}$,

лишь бы знаменатель в ноль не обращался.

Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.

Обозначим общее значение дробей $frac{a}{b}$ и
$frac{c}{d}$ буквой $t.$
Тогда 

$a=bt; c=dtRightarrow lambda a+mu c = (lambda b+ mu d)tRightarrow$

$frac{lambda a+mu b}{lambda b+mu d}=t,$

что и требовалось доказать.

Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае $frac{a}{b}=frac{c}{d}$ - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.

Доказательство теоремы.

1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке $P$, тогда треугольник $ABC$ оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже.  Рассмотрим первую дробь
$frac{AB_1}{B_1C}.$
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников $ABB_1$ и $B_1BC$ с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
$APB_1$ и $B_1PC$, можно заменить числитель и знаменатель и на их площади. 

Поэтому

$frac{AB_1}{B_1C}= frac{S_I+S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}+S_{VI}}= frac{S_I}{S_{VI}}.$

Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:

$frac{AB_1}{B_1C}=frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}$

Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:

$frac{AB_1}{B_1C}cdot frac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}= frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}cdot frac{S_{VI}+S_{I}}{S_{II}+S_{III}}cdot frac{S_{IV}+S_{V}}{S_{VI}+S_{I}}=1,$

что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.

2. Пусть $AA_1, BB_1, CC_1$ не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения $AA_1$ и 
$BB_1$ отрезок $CC_2$ (точка $C_2$ расположена на стороне $AB$). 
По доказанному,

$frac{AB_1}{B_1C}cdotfrac{CA_1}{A_1B}cdotfrac{BC_2}{C_2A}=1.$

Если бы было выполнено

$frac{AB_1}{B_1C}cdotfrac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}=1$,

то 

$frac{BC_2}{C_2A}=frac{BC_1}{C_1A},$

что невозможно при $C_1not= C_2$

(скажем, если точки на стороне $AB$
расположены в порядке $A - C_1 - C_2 - B,$
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).

На этом доказательство завершается.
 
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы. 
Воспользуемся для этого теоремой синусов:

$frac{AB_1}{sin beta_1}=frac{AB}{sin AB_1B}; frac{B_1C}{sin beta_2}=frac{BC}{sin CB_1B}Rightarrow$

$frac{AB_1}{B_1C}=frac{AB}{BC}cdot frac{sin beta_1}{sin beta_2}.$

Аналогично получаем

$frac{CA_1}{A_1B}=frac{AC}{AB}cdot frac{sinalpha_1}{sin alpha_2}; frac{BC_1}{C_1A}=frac{BC}{AC}cdot frac{sin gamma_1}{sin gamma_2}.$

Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.

Отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 

$frac{sin alpha_1}{sin alpha_2}cdot frac{sin beta_1}{sinbeta_2}cdot frac{sin gamma_1}{singamma_2}=1$


Примеры.

1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.

2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.

3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.