Теорема Чевы. Доказательство теоремы. Пример использования. Четкий, понятный и читаемый рисунок.
Ответы
Ответ дал:
0
Теорема Чевы. Дан треугольник
и точки ![A_1, B_1, C_1 A_1, B_1, C_1](https://tex.z-dn.net/?f=A_1%2C++B_1%2C++C_1)
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
![frac{AB_1}{B_1C}cdot frac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}=1 frac{AB_1}{B_1C}cdot frac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}=1](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7Dcdot+frac%7BCA_1%7D%7BA_1B%7Dcdot+frac%7BBC_1%7D%7BC_1A%7D%3D1)
Лемма. Если числа
таковы, что
![frac{a}{b}=frac{c}{d}, frac{a}{b}=frac{c}{d},](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Ba%7D%7Bb%7D%3Dfrac%7Bc%7D%7Bd%7D%2C+)
то
,
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей
и
буквой ![t. t.](https://tex.z-dn.net/?f=t.)
Тогда
![a=bt; c=dtRightarrow lambda a+mu c
= (lambda b+ mu d)tRightarrow
a=bt; c=dtRightarrow lambda a+mu c
= (lambda b+ mu d)tRightarrow](https://tex.z-dn.net/?f=a%3Dbt%3B+c%3DdtRightarrow+lambda+a%2Bmu+c%0A%3D+%28lambda+b%2B+mu+d%29tRightarrow%0A%0A)
![frac{lambda a+mu b}{lambda b+mu d}=t, frac{lambda a+mu b}{lambda b+mu d}=t,](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Blambda+a%2Bmu+b%7D%7Blambda++b%2Bmu+d%7D%3Dt%2C)
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае
- это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке
, тогда треугольник
оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже. Рассмотрим первую дробь
![frac{AB_1}{B_1C}. frac{AB_1}{B_1C}.](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7D.)
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников
и
с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и
, можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.
Поэтому
![frac{AB_1}{B_1C}=
frac{S_I+S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}+S_{VI}}=
frac{S_I}{S_{VI}}.
frac{AB_1}{B_1C}=
frac{S_I+S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}+S_{VI}}=
frac{S_I}{S_{VI}}.](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7D%3D%0Afrac%7BS_I%2BS_%7BII%7D%2BS_%7BIII%7D%7D%7BS_%7BIV%7D%2BS_%7BV%7D%2BS_%7BVI%7D%7D%3D%0Afrac%7BS_I%7D%7BS_%7BVI%7D%7D.%0A%0A)
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
![frac{AB_1}{B_1C}=frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}} frac{AB_1}{B_1C}=frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7D%3Dfrac%7BS_%7BII%7D%2BS_%7BIII%7D%7D%7BS_%7BIV%7D%2BS_%7BV%7D%7D)
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
![frac{AB_1}{B_1C}cdot frac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}=
frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}cdot
frac{S_{VI}+S_{I}}{S_{II}+S_{III}}cdot
frac{S_{IV}+S_{V}}{S_{VI}+S_{I}}=1, frac{AB_1}{B_1C}cdot frac{CA_1}{A_1B}cdot frac{BC_1}{C_1A}=
frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}cdot
frac{S_{VI}+S_{I}}{S_{II}+S_{III}}cdot
frac{S_{IV}+S_{V}}{S_{VI}+S_{I}}=1,](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7Dcdot+frac%7BCA_1%7D%7BA_1B%7Dcdot+frac%7BBC_1%7D%7BC_1A%7D%3D%0Afrac%7BS_%7BII%7D%2BS_%7BIII%7D%7D%7BS_%7BIV%7D%2BS_%7BV%7D%7Dcdot+%0Afrac%7BS_%7BVI%7D%2BS_%7BI%7D%7D%7BS_%7BII%7D%2BS_%7BIII%7D%7Dcdot%0Afrac%7BS_%7BIV%7D%2BS_%7BV%7D%7D%7BS_%7BVI%7D%2BS_%7BI%7D%7D%3D1%2C)
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть
не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения
и
отрезок
(точка
расположена на стороне
).
По доказанному,
![frac{AB_1}{B_1C}cdotfrac{CA_1}{A_1B}cdotfrac{BC_2}{C_2A}=1. frac{AB_1}{B_1C}cdotfrac{CA_1}{A_1B}cdotfrac{BC_2}{C_2A}=1.](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7Dcdotfrac%7BCA_1%7D%7BA_1B%7Dcdotfrac%7BBC_2%7D%7BC_2A%7D%3D1.)
Если бы было выполнено
,
то
![frac{BC_2}{C_2A}=frac{BC_1}{C_1A}, frac{BC_2}{C_2A}=frac{BC_1}{C_1A},](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BBC_2%7D%7BC_2A%7D%3Dfrac%7BBC_1%7D%7BC_1A%7D%2C)
что невозможно при![C_1not= C_2 C_1not= C_2](https://tex.z-dn.net/?f=C_1not%3D+C_2)
(скажем, если точки на стороне![AB AB](https://tex.z-dn.net/?f=AB)
расположены в порядке![A - C_1 - C_2 - B, A - C_1 - C_2 - B,](https://tex.z-dn.net/?f=A++-++C_1+-+C_2+-+B%2C+)
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:
![frac{AB_1}{sin beta_1}=frac{AB}{sin AB_1B};
frac{B_1C}{sin beta_2}=frac{BC}{sin CB_1B}Rightarrow frac{AB_1}{sin beta_1}=frac{AB}{sin AB_1B};
frac{B_1C}{sin beta_2}=frac{BC}{sin CB_1B}Rightarrow](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7Bsin+beta_1%7D%3Dfrac%7BAB%7D%7Bsin+AB_1B%7D%3B+%0Afrac%7BB_1C%7D%7Bsin+beta_2%7D%3Dfrac%7BBC%7D%7Bsin+CB_1B%7DRightarrow)
![frac{AB_1}{B_1C}=frac{AB}{BC}cdot frac{sin beta_1}{sin beta_2}. frac{AB_1}{B_1C}=frac{AB}{BC}cdot frac{sin beta_1}{sin beta_2}.](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BAB_1%7D%7BB_1C%7D%3Dfrac%7BAB%7D%7BBC%7Dcdot+frac%7Bsin+beta_1%7D%7Bsin+beta_2%7D.)
Аналогично получаем
![frac{CA_1}{A_1B}=frac{AC}{AB}cdot frac{sinalpha_1}{sin alpha_2};
frac{BC_1}{C_1A}=frac{BC}{AC}cdot frac{sin gamma_1}{sin gamma_2}. frac{CA_1}{A_1B}=frac{AC}{AB}cdot frac{sinalpha_1}{sin alpha_2};
frac{BC_1}{C_1A}=frac{BC}{AC}cdot frac{sin gamma_1}{sin gamma_2}.](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7BCA_1%7D%7BA_1B%7D%3Dfrac%7BAC%7D%7BAB%7Dcdot+frac%7Bsinalpha_1%7D%7Bsin+alpha_2%7D%3B++%0Afrac%7BBC_1%7D%7BC_1A%7D%3Dfrac%7BBC%7D%7BAC%7Dcdot+frac%7Bsin+gamma_1%7D%7Bsin+gamma_2%7D.)
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
![frac{sin alpha_1}{sin alpha_2}cdot
frac{sin beta_1}{sinbeta_2}cdot
frac{sin gamma_1}{singamma_2}=1 frac{sin alpha_1}{sin alpha_2}cdot
frac{sin beta_1}{sinbeta_2}cdot
frac{sin gamma_1}{singamma_2}=1](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Bsin+alpha_1%7D%7Bsin+alpha_2%7Dcdot+%0Afrac%7Bsin+beta_1%7D%7Bsinbeta_2%7Dcdot%0Afrac%7Bsin+gamma_1%7D%7Bsingamma_2%7D%3D1)
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
Лемма. Если числа
то
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей
Тогда
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников
Поэтому
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть
По доказанному,
Если бы было выполнено
то
что невозможно при
(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:
Аналогично получаем
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/987/987864fa27585d1dbdfaf6a6cce62df7.jpg)
![](https://st.uroker.com/files/407/407389d38c58cc2d8e6a8dd17120c508.jpg)
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
5 лет назад
8 лет назад
9 лет назад