Question

Решить задачу, используя геометрическую вероятность.
На сторонах AB и AC равностороннего треугольника случайным образом выбраны точки M и N. Какова вероятность того, что пло-щадь треугольника AMN больше площади треугольника NBC?
Желательно с рисунком на системе координат

Answer 1

Пусть сторона треугольника равна $a$. Обозначим отрезок AM как $xa$, где $xin[0;1]$ и отрезок AN как $ya$, где $yin[0;1]$. Тогда сторона MB выразится как $(1-x)a$, а сторона NC выразится как $(1-y)a$.
Выразим площади треугольников:
$S_{AMN}= frac{1}{2} cdot AMcdot ANcdot sin A=frac{1}{2} cdot xa cdot ya cdot frac{ sqrt{3} }{2} =frac{ sqrt{3} }{4}a^2xy \ S_{NBC}= frac{1}{2} cdot CN cdot CB cdot sin C=frac{1}{2} cdot (1-y)acdot a cdot frac{ sqrt{3} }{2} =frac{ sqrt{3} }{4}a^2(1-y)$
Запишем неравенство, вероятность выполнения которого нужно найти:
$frac{ sqrt{3} }{4}a^2xy textgreater frac{ sqrt{3} }{4}a^2(1-y) \ xy textgreater 1-y \ xy+y textgreater 1 \ y(x+1) textgreater 1 \ y textgreater frac{1}{x+1}$
Графически это можно показать следующим образом. Всевозможные события - площадь единичного квадрата, где х и у принимают значения от 0 до 1. Благоприятные события - площадь той части этого квадрата, которая расположена выше графика функции $y= frac{1}{x+1}$. Численно эта площадь равна искомой вероятности.
График функции $y= frac{1}{x+1}$ получается из графика функции $y= frac{1}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево.
Искомая фигура ограничена сверху графиком функции $y=1$, снизу - графиком функции $y= frac{1}{x+1}$, слева и справа - прямыми $x=0$ и $x=1$ соответственно. Площадь такой фигуры определяется определенным интегралом $intlimits^1_0 (1- frac{1}{x+1}), dx$.
Вычисляем:
$P(S_{AMN} textgreater S_{NBC})= intlimits^1_0 (1- frac{1}{x+1}), dx= (x- ln|x+1|)|_0^1= \ =(1-ln(1+1))-(0-ln(0+1))=1-ln2$
Ответ: 1-ln2