Question

а)Решите уравнение.
б)Найдите миним расстояние и миним длину дуги между несовпадающими точками еденичн окружности,соответствующими корням уравнения.

Answer 1

$frac{ sqrt{27} }{ sin(x) } - frac{3}{ sin^{2}(x) } = 2 textless = textgreater sin(x) sqrt{27} - 3 = 2sin^{2}(x)$
$2sin^{2}(x) - sin(x) sqrt{27} + 3 = 0 textless = textgreater 2(sin(x)- sqrt{3})(sin(x)- frac{ sqrt{3} }{2})=0$

Таким образом, sin(x) = √3 или sin(x) = √3/2. Заметим, что первое уравнение решений не имеет по определению синуса. Тогда решим уравнение sin(x) = √3/2, которое является частным случаем: x = π/3+2πk или x = 2π/3+2πp, где k и p – целые числа. Теперь становится очевидным, что искомое минимальное расстояние между точками и длина дуги находятся между точками с координатами (1/2, π/3) и (–1/2, 2π/3).

Стоит отметить, что отрезок, соединяющий данные точки, параллелен оси абсцисс, то есть его длина равна 1/2 + 1/2 = 1. 

Соединим данные точки с началом координат: получим, что центральный угол с вершиной, совпадающей с центром окружности, равен a = π/3, а значит и длина соответствующей дуги равна π/3.

Ответ: длина отрезка равна 1, длина дуги равна π/3.